Trigonométrie : formules d'addition et de duplication.

[Océane]

Bonjour, je suis en première scientifique et en ce moment j'étudie le chapitre : Applications du produit scalaire. J'ai un peu du mal avec les formules. Je bloque sur un exercice, j'aurai donc besoin d'aide.

Énoncé :

Démontrer que pour tous réel x et y :
a) \(sin(x)+sin(x+\frac{2\pi }{3})+sin(x+\frac{4\pi }{3}) = 0\)
b) \(2cos(x+y)sin(x-y) = sin(2x)-sin(2y)\)
c) \(2sin(x+y)sin(x-y) = cos(2x)-cos(2x)\)

J'aimerai avoir quelques pistes, savoir à partir de quelles formules je dois partir.

Merci !

[SoS-Math(4)]

Bonjour Océane,

Une méthode est d'utiliser une formule que tu as du voir en cours : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

Par exemple : \(sin(x+\frac{2\pi}{3})=sin(x)\times cos(\frac{2\pi}{3})+sin(\frac{2\pi}{3})\times cos(x)=\frac{-1}{2} \times sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2} \times cos(x)\)

Tu calcules de la même façon \(sin(x+\frac{4\pi}{3})\).
Ensuite tu reportes dans l'expression et tu devrais trouver 0.

Pour les autres , tu essayes de choisir dans les formules du cours celle(s) qui conviennent le mieux, tout en sachant qu'il n'existe pas un calcul unique qui conduit au résultat.
Autrement dit, quelque soient les formules utilisées, tu peux aboutir, mais plus ou moins vite.

sosmaths

[Océane]

Bonjour, pour le petit a) je trouve très bien 0 et pour le b) je m'en sors aussi, par contre pour la c) je bloque ...
Je sais qu'il faut utiliser la formule : cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a) mais je ne vois pas laquelle prendre exactement.

Merci !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Océane,

Pour la question c, tu peux aussi choisir de transformer le membre de gauche : 2sin(x+y)sin(x-y) .... (c'est plus simple ...)
Il faudra aussi utliser la relation : \(cos^2(x)+sin^2(x)=1\).

Bon courage,
SoSMath.

[Océane]

J'ai un problème avec un signe, j'ai fait :

2sin(x+y)sin(x-y)
= 2sin(x)sin(x)-sin(y)sin(y) mais en faisant cela ça ne colle pas car on aurait alors 2sin(x-y)sin(x-y) ...

[SoS-Math(9)]

Désolé, mais je ne vois pas comment tu trouves ton résultat !

As-tu utilisé les bonnes formules :
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) et
sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) ?

SoSMath.

[Océane]

Euh non je n'ai pas du tout utilisé ces formules, je n'y ai même pas pensé !

Que fait-on ensuite avec ces formules ? On les remplace dans 2sin(x+y)sin(x-y) ?

[SoS-Math(9)]

Océane,

Il faut remplacer sin(x-y) et sin(x+y) par leurs expressions, puis il faut développer, puis ... à toi de trouver !

Voici le début : 2sin(x+y)sin(x-y) = 2( sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) )( sin(x)....)

Bon courage,
SoSMath.

[Océane]

Oui, c'est exactement ce que j'ai fait :

2sin(x+y)sin(x-y) = 2(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))*(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))
= 2 (2sin(x)cos(y)-2cos(x)sin(y))

Et ensuite, je ne vois pas quoi faire pour avoir quelque chose comme cos(2y)-cos(2x)...

[sos-math(13)]

Bonsoir,

dans ton développement, il s'agit d'un produit, et non d'une somme (tu l'indiques d'ailleurs avec le symbole "*").
Donc ton développement est faux.
Quand tu l'auras correctement effectué, ramène-toi par exemple à uniquement des cos de x et de y (avec cos²+sin²=1).

D'autre part, utilise tes formules trigo sur le second membre (cos(2y)-cos(2x)), et ramène-toi là aussi uniquement à des cos de x et de y.

Tu devrais ainsi avoir des expressions faciles à comparer.

Bon courage.

[Océane]

Oui, je vois mon erreur, je propose alors :
2sin(x+y)sin(x-y) = 2(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))*(sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y))
= 2 (sin(x)cos(y))² + (cos(x)sin(y))²


Je suis complétement perdue, et je ne vois vraiment pas comment faire pour la suite c'est pourquoi j'abandonne.
Merci de votre aide comme même !

[sos-math(13)]

Bonjour,

c'est dommage d'abandonner ! tu es sur la bonne voie (attention, le 2 est en facteur de tout le reste, donc il manque une paire de parenthèses.

Tu peux utiliser la formule (ab)²=a²b² qui va t'amener du (sin²x)(cos²y) pour la première partie, où tu peux remplacer sin²x par 1-cos²x.

En faisant le même genre d'opération dans la seconde partie, tu es réduite à des cosinus, ce qui te permet de continuer comme je te l'avais indiqué.

N'abdique pas !

Bon courage.

[Océane]

En faisant tout cela j'arrive à : 2sin(x+y)sin(x-y) = cos²(y)-cos²(x)cos²(y)+cos²(x)-cos²(x)cos²(y).
= cos²(y)+cos²(x) - 2 ( cos²(x)cos²(y) )

Par contre pour la suite vous m'aviez dit d'utiliser des formules de trigo pour le second membre, mais je ne vois pas pourquoi les utiliser ..

Merci.

[sos-math(13)]

Bonjour,

il y a des erreurs de signes dans ton développement :
avec
2 [sin²(x)cos²(y) + cos²(x)sin²(y)] que tu avais trouvé un peu plus haut (j'ai refait le parenthésage), tu obtiens :
2 [(1-cos²(x))cos²(x)+cos²(x)(1-cos²(y))]
En faisant le calcul soigneusement, tu obtiens 2[cos²(y)-cos²(x)]

Pour le second membre, il te reste à écrire cos(2y)-cos(2x) en utilisant cos(2a)=cos²(a)-sin²(a) {ton énoncé dans le premier message est faux}

Et tu devrais pouvoir conclure.

Aller, on s'accroche encore un peu.

à bientôt.

[Océane]

Bonjour, je ne vois pas comment vous arrivez de 2 [(1-cos²(x))cos²(y)+cos²(x)(1-cos²(y))] (où je crois qu'il y a une erreur pour le x) à 2[cos²(y)-cos²(x)].
J'ai refait le calcul et j'arrive toujours à ce que j'avais dit plus haut c'est à dire cos²(y)+cos²(x) - 2 ( cos²(x)cos²(y) ).
Pour le deuxième membre, j'arrive à : cos²(y)-sin²(y)-cos²(x)+sin²(x) en remplaçant cos(2y) par cos²(y)-sin²(y) et cos(2x) par cos²(x)-sin²(x).

Merci.