Etude de Fonction (limite et asymptote)

[Naomii]

Bonjour à tous,
J'ai un devoir surveillé très important la semaine prochaine, je fais donc des exercices pour m'entrainer. Malheureusement je suis bloquée sur celui là, et je déteste pas comprendre .. Pourriez-vous m'éclairer un petit peu s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour les éventuelles réponses.
Naomii. :)

Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(3(x²-1))/(x²+1). Cf est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormal (O, i, j).

1. Justifier que l'on peut réduire l'étude de f à un intervalle I à déterminer. (Que signifie "réduire l'étude" ? et comment le faire)
2. Etudier les limites de f aux bornes de I. Quelle en est la conséquence graphique?
3. Dresser le tableau de variation de f sur I. (Je sais le faire mais comme je n'ai pas I .. je peux pas le faire ..)
4. Soit A le point d'abscisse positive, intersection de Cf et de l'axe des abscisses.
a) Donner une équation de la tangente T en A (On utilise la formule y=f'(a)(x-a) + f(a) mais avant il faut trouver A, comment faire ?)
b) étudier, pour x E I, la position de Cf par rapport à T. (Je ne vois pas du tout comment faire ici..)
5. Effectuer les tracés de T, de Cf et de son asymptote. (je pense savoir le faire, une fois le reste de l'exercice fait.)

Beaucoup de choses incomprises comme vous pouvez le constater .. :S

[SoS-Math(8)]

Bonsoir Naomii,

Je ne peux pas répondre à toutes tes questions, mais je vais quand même t'aider sur la première question.

La fonction f est définie sur R donc il faudrait l'étudier sur R (]-infini;+infini[), mais on peut réduire l'intervalle d'étude car:
\(f(x)=\frac{3(x^2-1)}{x^2+1}\).
\(f(-x)=\frac{3((-x)^2-1)}{(-x)^2+1}=\frac{3(x^2-1)}{x^2+1}\).
Donc f(-x)=f(x). Ce qui veut dire que la fonction est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc on va ( tu vas !) l'étudier sur [0;+infini[.

Pour le reste, il faut nous montrer tes démarches, calculs...

Bonne continuation.

[Naomi]

J'avais fait ça :
x²+1 different de 0
x²=-1
x=racine de 1 et -racine de 1
x=1 et x=-1
donc I=]1;+l'infini[ car la fonction est une fonction carré, donc symétrique.

Donc ce que j'ai fait est faux ? j'ai pas compris pourquoi vous étudiez la parité de la fonction ?

[SoS-Math(8)]

La parité permet de réduire l'intervalle d'étude de la fonction.

Attention à ce que vous avez écrit:

x²=-1
x=racine de 1 et -racine de 1

Vous confondez avec x²=1
L'équation x²=-1, n'admet pas de solution dans R, car un carré est toujours positif ou nul.

Effectivement, il faut se poser la question pour x²+1, il ne faut pas qu'il soit nul.
Mais pour moi, c'était évident, d'ailleurs l'énoncé nous dit que la fonction est définie sur R.

Et enfin, ce n'est pas parce que la fonction f comporte des x² que f est une fonction carrée. ( ex: x²+x n'est pas paire)

Il faut vérifier que f(-x)=f(x) pour la parité.

[Naomi]

Ah oui d'accord! Merci.

Et ensuite je calcule lim x=>0 et lim x=>+l'infini de f, c'est ça ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Naomi,

Il n'y a pas lieu de calculer la limite en un point où la fonction est définie.

Puisque la fonction est définie en 0, la seule limite à calculer est la limite en \(+\infty\).

Bonne continuation.

[Naomi]

Bonjour,

Pour la limite en + l'infini la fonction s'écrit 3-6/(x^2+1) donc elle tends vers 3 d'où une asymptote horizontale y=3 ... c'est juste ?

Merci pour votre aide surtout :)

[sos-math(13)]

Bonjour,

oui, c'est juste.

à bientôt.