Produit Scalaire

[Paule]

Bonjour,

je sollicite votre aide pour un exercice concernant les produits scalaire...

En voici l'énoncé :

"Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2. On note I le milieu de [AB] et pour tout point M du plan : f(M)= MA . MB. (ce sont des vecteurs, donc "MA scalaire MB", excusez moi mais je n'arrive pas à les faire apparaître avec TeX..)

1/ Calculez f(A), f(B), f(I) et f(C)

2/ Quel est l'ensemble E0 des points M du plan tels que f(M)=0

3/ Représentez E0.

4/ Montrez que pour tout M, f(M)=MI²-1

5/ Déterminez suivant les valeurs du réel k, l'ensemble Ek des points M du plan tels que f(M)=k.

6 Représentez E2."




Pour la question 1/, j'ai trouvé que :
f(A)=0
f(B)=0
f(I)=-1
f(C)=2

Pour la 2/, l'ensemble des points M du plan tels que f(M)=0 est le cercle de centre I et de rayon IA, car "de tout point d'un cercle, on voit un diamètre sous un angle droit". Donc pour tout M inclu dans E0, MA scalaire MB = 0.

3/ Cercle de centre I et de rayon IA (B est donc inclu dans ce cercle) comme précisé question 2/.

Puis je suis bloquée pour la question 4, je ne vois pas du tout comment faire..., idem pour la question 5.
J'espère que vous pourrez peut-être me donner une piste....

Merci beaucoup!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Paule,

Pour la question 4) il faut utiliser la relation de Chasles puis développer ton produit scalaire ....
Rappel : relation de Chasles \(\vec{AB}=\vec{AM}+\vec{MB}\).

Pour le 5), utilise la réponse du 4)
Rappel : le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points tels que OM = R.

Bon courage,
SoSMath.

[Paule]

Merci beaucoup pour votre réponse, je pense y être arrivée.

Cependant j'ai un autre petit problème. J'ai comparé les résultats avec un ami pour la première question et nous n'avons pas trouvé la même chose. Par exemple pour f(I)
Mon ami a utilisé la méthode f(I) = 1/2 (||IA+IB||² - ||IA||² - ||IB||²) = 2
J'ai préféré utiliser cette façon de faire : f(I) = IA.IB.cos(180) = -1

Pourriez-vous m'expliquer ce qu'il s'est passé SVP ? Car je ne comprends pas pourquoi nous n'obtenons pas le même résultat.

[SoS-Math(9)]

Paule,

les deux méthodes sont justes !
Ton amie a seulement fait une erreur de calcul ....
Peut-être a-t-elle oublié que \(\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}\) ?

SoSMath.

[Paule]

Bonjour,

merci pour ces explications, et vous aviez raison, la faute de mon amie venait bien de là. J'ai donc refais à mon tour tous les calculs d'après sa méthode.
Mais un petit problème persiste... Lorsque je dois calculer f(C)...

Avec sa méthode je trouve (tandis que le résultat est 2 avec l'autre façon de faire):

f(C) = CA.CB = 1/2 (||CA + CB||² - ||CA||² - ||CB||²) = 1/2 ( ||2+2||² - ||2||² - ||2||²) = 1/2 (16 - 4 - 4) = 1/2 (8) = 4

Pourriez vous SVP m'indiquer ma faute? Car je ne trouve vraiment pas là...

Merci d'avance!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Il y a une sérieuse erreur dans les calculs de la méthode de votre amie : Dans la formule il est question de norme de vecteur
\(\vec{CA}.\vec{CB} = 1/2 ({||\vec{CA} +\vec{CB}||}^2 - {||\vec{CA}||}^2 - {||\vec{CB}||}^2)\)
Et vous ne pouvez pas remplacer \vec{CA} +\vec{CB} par 2+2 !!

Bon courage

[Paule]

Bonsoir,
pourriez vous s'il vous plait encore m'apporter une petite explication supplémentaire sur la question 5?
Je ne comprends même pas l'énoncé de la question...

Merci d'avance

[SoS-Math(2)]

Bonsoir ,
M appartient à Ek équivaut à IM²-1 = k
équivaut à IM²= k+1

Vous devez étudier trois cas k+1 <0 ; k+1 = 0 et k+1 <0
A vos crayons