Suites : Variations de poulation.

[Fanny]

Bonsoir, j'ai un exercice à effectué ce pendant je bloque dès le début, pourriez-vous m'aider?

On établit et on étudie des modèles pour suivre l'évolution d'une population d'animaux d'une réserve.
On note p0 la population initiale et pn la population de la \(n^{ieme}\) génération.

1. Population croissante.
On pose p0 = 500 et pour tout entier naturel n, pn+1 = 1,035 pn.
a) La suite (pn)n\(\in\)N est géométrique, quelle est sa raison ?
Quelle est son sens de variation ?
b) Exprimer pn en fonction de n.
c) A l'aide de la calculatrice ou du tableur, calculer les termes p1,...,p20.
Donner leur arrondi à l'unité.
d) Placer dans un repère les points de coordonnées (n;pn) pour les valeurs 0;1;...;20 de n.
e) A partir de quelle valeur de n, a-t-on pn \(\geq\) 2000?

2. Population décroissante.
On pose p0 = 500 et pour tout entier naturel n, pn+1 = 0,8 pn+40.
a) A l'aide de la calculatrice ou du tableur, calculer les termes p1, p2, ..., p20.
Donner leur arrondi à l'unité.
b) Placer dans un repère, les points de coordonnées (n;pn) pour les valeurs 0;1;...;20 de n.
c) On pose pour tout n de N, un = pn-200.
Démontrer que u est un suite géométrique.
d) Exprimer un pour pn en fonction de n.
e) Démontrer que la suite (pn)n\(\in\)N est décroissante.

1. a) q=1,035 , mais je ne sais pas comment trouver son sens de variation.

Merci ...

[sos-math(13)]

Bonjour Fanny,

le cours contient les réponses aux questions 1a et 1b :
La raison trouvée est correcte, et sa valeur permet de savoir si la suite est croissante ou décroissante (ou ni l'une ni l'autre).

Mais même sans le cours, si tu multiplie une valeur par 1,035 puis le résultat par 1,035, etc... que va-t-il se passer ?
Si tu ne sais pas, fais quelques essais à la calculatrice.

Pour la question 1b, je te conseille vraiment de regarder ton cours sur les suites géométriques, qui contient certainement la formule à appliquer, pour une suite u, de premier terme u0 et de raison q (ce sont souvent les notations utilisées). Il ne reste qu'à l'adapter.

Bon courage.

[Fanny]

Merci tout d'abord d'avoir répondu.
J'ai déjà la réponse pour le sens de variation : elle est croissante car sa raison est strictement supérieure à 1 ...

Je vais regarder dans mon cours pour la 1b.

Merci.

[sos-math(13)]

C'est correct pour la 1a.

Pour la 1b, en effet, le cours est utile ;-)

Sinon, tu peux observer :
\(u_1=q\times{u_0}\)
\(u_2=q\times{u_1}=q\times{q}\times{u_0}=q^2\times{u_0}\)
\(u_3=q\times{u_2}=q\times{q^2}\times{u_0}=q^3\times{u_0}\)

et après ?

Bon courage.

[Fanny]

Pour la 1b : pn=500*1,035 \(^{n}\)

[sos-math(13)]

Bonsoir,

c'est bon. Tu devrais pouvoir enchaîner. Tu constates que la connaissance du cours est essentielle.

Bon courage.

[Fannya]

Bonjour, oui la connaissance du cours est primordiale, mais je ne sais pas correctement utiliser mes connaissances !

Pour les questions 1c et 1d je les ai faites avec un tableur.
Pour la questions 1e) je trouve que c'est à partir de la valeur 41 que pn est \(\geq\) 2000 ( à l'aide du tableur).
Mais je me demandais si on doit donner cette valeur par un calcul ou une justification car ici c'est à partir du tableur que je le constate...

Merci !

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je prend la suite, on te demande d'utiliser ta calculatrice, un tableur est plus rapide et plus pratique, on ne te demande pas de justification théorique. Tu peux donner les termes \(u_{40};u_{41};u_{42}\) pour préciser un peu. Sinon tu dois utiliser la fonction logarithme népérien.

Bonne continuation