Applications de la dérivation

[Charles]

Bonjour, j'ai quelque soucie avec mon DM
1) Df= R-{-1} donc f est dérivable sur Df.
je mets touts sous le même dénominateur et j'obtient : ax^2+ax+bx+b+c le tout sur x+1.
j'utilise la forme u/v et j'obtient (x+1)(2ax+a+b)-(ax^2+ax+bx+b+c)(1) le tout sur (x+1)^2 en sautant le développement j'arrive à f'(x)= ax^2+2ax+a-c/(x+1)^2.

2) on me dit d'utilisé les données du tableau je me sert des f(-2)=-2 et f(0)=2
je remplace les x par -2 et j'arrive à -2a-b+c=-2 et la je n'arrive pas à voir et trouver les trois réels. svp

Merci

[charles]

Pardon je n'est pas mis l'énoncé le voici

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charles,
Votre énoncé me semble incomplet. N'avez vous pas l'image d'une valeur par la fonction dérivée?
Quoiqu'il en soit \(f(0)=2\) donne l'équation \(b+c=2\).
\(f(-2)=-2\) donne l'équation \(2a-b+c=2\)
Il manque une équation pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues.
A bientôt.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charles,
Vous avez donc aussi \(f'(0)=0\) et \(f'(-2)=0\).
C'est donc une avalanche d'équations: chouette alors!
Vous n'avez pas fait d'erreur dans le calcul de la fonction dérivée.
A bientôt.

[Charles]

pas chouette les équations pour l'instant ; ce que je ne comprend pas c'est comment vous pouvez trouver que f(0)=2donne l'équation b+c=2 de même pour la deuxième.
Merci

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Charles,

f(0)=2 donc en remplaçant x par 0 dans l'expression \(f(x)=ax+b+\frac{c}{x+1}\) cela donne \(b+c=2\)
De même pour l'autre équation, on remplace x par (-2) et on a\(-2a+b-c=-2\) soit \(2a-b+c=2\).
Il faut ensuite utiliser la dérivée pour avoir d'autres équations.

Bonne continuation

[Charles]

Bonjour au final j'ai le système suivant la dernière équation j'ai remplacer le x par 0 dans f'(x).
b+c=2
2a-b+c=2
a-c=0
une fois la je ne peut que déduire que S= {1;1;1} je ne peux pas déterminer un réels et en déduire les deux autres avec ce que l'on me donne ?
Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charles,
Vous avez fini puisque a-c=0 donne a=c
En remplaçant c par a dans les deux autres équations, on obtient a+b=2 et 3a-b=2.
Ce qui donnera en effet a=b=c=1.
La fonction f est donc définie par \(f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}\).
A bientôt.

[Charles]

3) Lim x tend vers +-oo f(x)=lim x tend vers +-00 x^2/x soit + ou - 00 donc sa justifie que la limite de -00 et -00 et celle de +00 est +00 ( deux extremités du tableau)
Lim x tend vers -1 avec x supérieur à-1 et inférieur à -1 = 1/0 +- c'est bien ce qu'il y a dans le tableau. je me suis basé sur x^2+2x+2/x+1 soit f(x) aprés développement de x+1 + 1/x+1.

justifier les sens de variations :
j'ai calculée la dérivée de f(x), f'(x) = x^2+2x+1/(x+1)^2
je trouve que delta =0 donc signe de a et a est positif enfin le dénominateur est positif donc f'(x) est croissante cependant je ne comprend pas d'où sorte les valeurs 0 dans la ligne de f'(x) donc je ne trouve pas de sens de variations décroissant. ou me suis-je tromper ?
Merci

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Il y a une erreur dans le calcul de la dérivée, il faut le refaire. Le 1 est en trop au numérateur.

sosmath

[Charles]

en effet j'ai vue mon erreur donc j'obtient x^2+2x/(x+1)^2 donc si je calcul Delta j'obtient 4 je calcule mes deux racine réelles x1=-2 et x2=0 mais plus j'avance plus j'ai l'impression de m'éloigner de la question. je vois pas à quoi me servirais la règle des signes, que sont c'est deux zéros dans la ligne de f'(x)?
pour les limites est-bon ?
Merci

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Les deux zéros dans le tableau signifient que la dérivée est nulle pour x=-2 et x=0.
Les limites sont justes.
sosmaths

[Charles]

Merci, j'ai toujours ce problème de comment vérifier le sens de variations de f sont bien ceux données dans le tableau. je suis bloqué une fois que j'ai calculé le delta (si il sert a quelque chose)

Merci

[sos-math(19)]

Bonsoir Charles,

Si tu reprends ta dérivée, son dénominateur (x+1)² est toujours strictement positif sur Df, donc ta dérivée a le même signe que son numérateur : x(x+2). Comme celui-ci se présente sous la forme d'un trinôme du second degré,pour étudier son signe, il suffit d'appliquer la règle du signe du trinôme.

Le Delta a pu éventuellement te servir à calculer les racines, mais ce n'est pas lui qui détermine le signe du trinôme.
Si tu as oublié cette règle, tu dois la rechercher dans ton cours.
Elle est très importante : elle sert non seulement à étudier le signe d'un trinôme, mais aussi à résoudre les inéquations du second degré.

Bon courage.

[Charles]

Bonjour donc j'ai réalisé un tableau de signe pour vérifier le sens de variations donnée dans le tableau de variation de l'énoncée.

pour la ligne de x^2+2x j'ai calculé Delta qui est positif et j'applique la règle dans le tableau, la deuxième ligne je ne mets que des plus car l'expression est au carré et je remplie la dernière ligne en fonction.
Le voici.
de -oo à -2 sa correspond de -2 à -1 également de -1 à 0 aussi et de 0 à +oo toujours
Merci.