Exercices sur limites de fonctions

[Elodie]

Bonjour tout le monde.
J'ai 3 exercices sur les limites de fonctions à faire, mais je n'y arrive pas.
J'espère que vous pourrez m'aider.

L'énoncé :

f étant une fonction quelconque, dire si chacune des affirmations suivantes est vraie, et illustrer la réponse à l'aide d'un exemple, d'un contre-exemple, ou d'une représentation graphique.

1. Si \(\lim_{x \to a}\) f(x) = 0, alors \(\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = +\infty\).

( Je ne sais pas pourquoi il y a des + qui apparaissent un peu partout avec les formules TEX ? )

2. Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\), alors \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty\).

3. Si \(\lim_{x \to l} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to l} g(x) = +\infty\), alors \(\lim_{x \to l} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\).

Pour l'exo 1, c'est faux ( si la limite de f(x) est égal à \(0^-\), car ainsi, la limite de \(\frac{1}{f(x)}\) serait -\(\infty\) ). Cependant, je ne trouve pas d'exemple...

Pour les exos 2 et 3, je n'ai absolument aucune idée de si c'est vrai ou faux...

J'espère que vous allez pouvoir m'aider.

Merci d'avance.

Bisous,
Elodie.

[sos-math(19)]

Bonjour Elodie,

Ces questions sont en relation avec le tableau des limites qui t'a été fourni en classe.

Question 1 : Tu as raison, c'est FAUX. En effet :
f(x) peut tendre vers 0 par valeurs supérieures, et dans ce cas la limite de 1/f(x) sera \(+\infty\) ;
f(x) peut tendre vers 0 par valeurs inférieures, et dans ce cas la limite de 1/f(x) sera \(-\infty\).
Pour justifier que c'est FAUX, tu dois donner un exemple du second cas. On appelle cela un contre-exemple.
Ne cherche pas des choses compliquées. Le contre-exemple existe dans les fonctions de références.

Question 2 : Tu consultes le tableau des limites.
C'est une forme parfaitement déterminée.
Cependant, dans ce cas la limite est \(\infty\), avec la règle des signes.
Le problème est donc dans la limite de g.
Je te laisse approfondir la situation et selon le cas choisir un exemple ou un contre-exemple.

Question 3 : Tu consultes le tableau des limites.
La forme est ici parfaitement déterminée et ne pose aucun problème.
Je te laisse approfondir la situation et selon le cas choisir un exemple ou un contre-exemple.

Pour les exemples ou contre-exemples, cherche parmi les fonctions de références simples.
L'illustration graphique aide aussi à comprendre la situation.

Bonne continuation.

[Elodie]

Bonjour.

Merci de la réponse, mais, je ne vois pas de quel tableau des limites vous voulez parler ?

Pour l'exercice 1, l'exemple est en effet simple à trouver, mais, ce qui me perturbe, c'est le "quand x tend vers a" ?

[Elodie]

Pour l'exercice 2, je pense avoir trouvé.

Si f(x) = x, et g(x) = \(\frac{-1}{x}\)

Ainsi, \([tex]\)\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty{/TEX], et \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0^-\).

Puis, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\frac{-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1} \times \frac{x}{-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{-1} = -\infty\)

Donc l'affirmation est fausse.

Est-ce bon ?

[Elodie]

Et pour le 3, c'est vrai, mais je ne sais pas trop comment expliquer à l'aide d'un exemple.

Cependant, pour le 1, je ne trouve absolument pas ? Pouvez-vous m'aider ?

[sos-math(19)]

Bonjour Elodie,

Pour plus de clarté, il vaut mieux attendre la réponse de sos-math avant d'envoyer un second message, voire un troisième.
Je réponds ici au premier de tes messages.

Même si les résultats n'ont pas été donnés sous forme de tableau, ils apparaissent sous forme d'énoncés dans ton cours et aussi dans ton livre.

Il te faut absolument rechercher ces résultats qui sont fondamentaux pour le calcul des limites.

\(a\) est la valeur de \(x\) en laquelle la limite est recherchée.
Dans le contre-exemple que tu fourniras, tu peux parfaitement avoir \(a=0\).

Je passe au message suivant.

[sos-math(19)]

Bonjour Elodie,

Je réponds pour l'exercice 2.
Ta réponse est correcte et le contre-exemple est bien choisi.

Cependant la deuxième ligne de calcul est inutile.

Puis, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\frac{-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1} \times \frac{x}{-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{-1} = -\infty\)

Il suffit de s'en remettre au fameux tableau dont je te parlais (défaut, aux règles citées dans le cours).

Je passe au troisième message.

[sos-math(19)]

Bonjour Elodie,

Pour l'exercice3, tu as raison, c'est vrai.
Je te laisse le temps d'y réfléchir et de trouver toi-même un exemple.

A bientôt.

[Elodie]

Désolé pour les messages, je voulais éditer mon message, mais je n'en avais pas la possibilité.

Merci d'avoir répondu.

Alors, pour l'exercice 1, si j'ai bien compris, il faut que je trouve une fonction qui admet pour limite \(0^-\) quand x tend vers a, c'est-à-dire quand x tend vers n'importe quel réel ?

Pour l'exercice 3, j'ai trouvé f(x) = \(\frac{x-1}{2}\) ( qui admet donc 0 pour limite quand x tend vers 1 ), mais je ne trouve pas de fonction pour g(x). Il faudrait une fonction qui admet pour limite +\(\infty\) quand x tend vers 1... ?

[sos-math(19)]

Bonjour Elodie,

C'est bien cela, mais je te laisse chercher un peu.
Il faut que tu trouves toi-même.

Bonne continuation.

[Elodie]

Pour l'exercice 1, je trouve des fonctions qui admettent pour limite 0 quand x tend vers a ( par exemple, 0x... mais aussi d'autres )... Cependant, aucune qui admet pour limite \(0^-\).
Pouvez-vous me donner une petite piste, un indice ?

[Elodie]

Pour le 1, la fonction f(x) = \(\frac{a-x}{-2}\) fonctionne-t-elle ?

Et pour le 3, les fonctions f(x) = \(\frac{x-1}{2}\) et g(x) = \(\frac{2}{1-x}\) ?

[Elodie]

Pour le 1, f(x) = -\(|a-x|\) pardon.

[sos-math(19)]

Bonsoir Elodie,

Question 1 : Je te rappelle que a désigne un réel fixé, par exemple une borne d'intervalle.
Voici l'exemple d'une fonction qui tend vers \(0^-\) en 1 : \(-(x-1)^2\).

Bonne continuation.

[Elodie]

Merci beaucoup.

J'avais aussi trouvé f(x) = -|a-x|
Est-ce bon ?