Fonction rationnelle

[lol66]

Bonjours, voici mon Dm à résoudre :
Soit f la fonction rationnelle définie par f(x)= \(\frac{x^3+3x}{3x^2+1}\)

1ère partie étude générale

1) Préciser Df en justifiant, puis déterminer les limites de f aux bornes de Df.
2) Comparer f (x) et f (—x). Que peut-on en déduire quant à la parité de f ? Et pour Cf ?

3) Montrer que f ‘(x)= \(\frac{3(x^2-1)^2}{(3x^2+1)^2}\)
4) Etablir le tableau de variation de f.

2ème partie une tangente soit T, tangente à Cf au point d'abscisse 0

5) Déterminer l'équation de la droite T.
6) Arranger l'expression de g(x)= f (x) — 3x
7) Etudier le signe de g(x)
8) En déduire, selon les valeurs de x, la position de Cf par rapport à T.

3ère partie une asymptote Soit delta la droite d'équation y= \(\frac{x}{3}\)

9) Arranger l'expression de f(x)-\(\frac{x}{3}\)
10) Montrer que la limite de cette expression, lorsque x atteint +l’infini ou –l’infini, est O. Que peut-on en déduire géométriquement ?
11) Étudier le signe de cette expression.
12) En déduire la position relative de Cf et de delta selon les valeurs de X.

4ème partie graphique
13) Déterminer l'équation de la droite oméga, tangente à Cf au point d'abscisse 1.
14) Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère orthonormé d'unité 4cm, les droites T, delta et oméga
15) Tracer ensuite Cf

5ème partie : résolution approchée d'une équation

16) Résoudre graphiquement l'équation f (x) = 0,5
17) Montrer que f(x) = 0,5 <=>\(2x^3 -3x^2 6x-1= 0\)
18) Soit u(x) = \(2x^3 -3x^2 +6x-1\). Montrer que l'équation u(x) = 0 admet une unique solution a sur R.
19)Déterminer un encadrement de a avec une amplitude de \(10^-2\) ; En déduire une valeur décimale
approchée à \(10^-2\) près par défaut de a
20)Calculer à 1% près l'erreur commise au 16) par rapport à la valeur obtenue au 19), considérée comme la « vraie valeur » de a.

Voila ceux que j'ai fait pour l'instant :
1)Df=R car un carré n'est jamais négatif, limite de f aux bornes de Df=]-l'infini;+l'infini[
2)f(x)=\(\frac{x^3+3x}{3x^2+1}\)
f(-x)=\(\frac{-x^3-3x}{3x^2+1}\)
f est donc impair puisque f(-x)=-f(x) donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.
3)f'(x)=\(\frac{(3x^4+3)-6x^2}{(3x^2+1)^2}\)
4)\(\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&&&+\infty \\{f'(x)}& &&&+&&& \\{f(x)}&&&&\nearrow&&&&\\\end{tabular}\)
5)y=3x
6)g(x)=\(\frac{-8x^3+6x}{3x^2+1}\)

[sos-math(19)]

Bonjour lol66,

Question 1 : essaye d'être un peu plus précis(e) dans la justification de l'ensemble de définition.
Question 2 à 5 : les résultats sont corrects, mais là aussi, un peu plus de détails et de rigueur.
Question 6 : calcul à reprendre (il y a une erreur).

Bonne continuation.

[lol66]

Oui merci j'ai mis directement les réponses pour savoir si elles étaient juste après je ne vois pas ou est mon erreur pour g(x) pourriez vous me diriger vers mon erreur je vous montre mon calcul :
g(x)=f(x)-3x
=\frac{x^3+3x}{3x^2+1} -3x
=\frac{x^3+3x}{3x^2+1} -\frac{3x(3x^2+1)}{3x^2+1}
=\frac{x^3+3x}{3x^2+1} -\frac{9x^3+3x)}{3x^2+1}
=\frac{-8x^3+6x}{3x^2+1}

[sos-math(19)]

Bonjour,

Je signale l'erreur en rouge sur ton message.

A bientôt.

[lol66]

Je pense avoir trouver arrête moi si je me trompe :
en fait j'ai additionne les 3x au lieu de les soustraire puisque j'ai fais \(3x*1\) au lieu de \(-3x*1\) donc mon résultat est g(x)=\(\frac{-8x^3}{3x^2+1}\)

[sos-math(19)]

Bonjour,

Bravo et bonne continuation pour la suite de l'exercice.

[lol66]

merci pour l'encouragement car je ne brille pas en maths ^^
voici la suite que j'ai faites :
7)g'(x)=\(\frac{24x^4+24x^2}{(3x^2+1)^2}\)
donc j'ai trouve ceux tableaux :
\(\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&&&+\infty \\{g'(x)}& &&&+&&& \\{g(x)}&&&&\nearrow&&&&\\\end{tabular}\)

je peux en conclure que g(x) est toujours positif

8) Je n'est pas vraiment compris la question pourriez vous me l'expliquer et me diriger vers la réponse

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Pour le calcul de g', je ne suis pas d'accord avec ton résultat.
Je pense que tu as oublié un signe - quelque part.

Pour la question 8, il faut que tu obtiennes le signe de g(question 7). Tu pourras ainsi savoir sur quel intervalle f(x)>3x, par exemple.

[lol66]

exact tu a raison g'(x)=\(-\frac{24x^4+24x^2}{(3x^2+1)^2}\)
Donc g(x) est décroissant c'est à dire négatif
8)f(x) \(\leq\) g(x)
9) delta (x)=\(\frac{10x}{9x^2+3}\)
10)\([tex]\)\lim_{x \to +\infty} \frac{10x}{9x^2+3}\([tex]\)=\([tex]\)\lim_{x \to +\infty} \frac{10x}{9x^2}\([tex]\)=0+ donc lim qd x tend vers -l'infini =0-
Geometriquement : Je ne sais pas

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Attention à votre façon d'écrire, vous vous adressez à des enseignants...

De plus votre phrase:

Donc g(x) est décroissant c'est à dire négatif

n'est pas correcte:
Calculez g(0). Et concluez.
Cela changera la conclusion pour la question 8.

[lol66]

Oui c'est vrai excusez moi j ai donc calculez g(0)=0 mais je ne vois pas ce qu'il faut en conclure.

[SoS-Math(8)]

Si x >0, alors g(x)<g(0) ( g est décroissante, donc inversion du sens de l'inégalité.)
Si x<0, alors.....
Donc on peut obtenir le signe de g(x).

[lol66]

Si x<0 alors g(x)>0 mais comme x=0 d'après le point d'abscisse on peut en conclure que g(x)=(g(0) il est donc nul est ce juste ? J'ai du mal avec cette question.

[lol66]

En fait je ne comprend pas vraiment ceux qu'il faut dire mais si je continue votre phrase Si x<0 alors g(x)>g(0) mais comme le point d'abscisse est 0 g(x)=g(0) on peut en conclure que g(x) est nul mais je ne pense pas que cela soit juste

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Reprenons question par question

6) Arranger l'expression de g(x)= f (x) — 3x

Vous avez trouvé

g(x)=\(\frac{-8x^3}{3x^2+1}\)

C'est juste

7) Etudier le signe de g(x)

Vous n'avez aucun besoin de la dérivée !
POur tout réel x, x² est positif donc 3x²+1>1 donc 3x²+1>0
Quand x>0, x^3>0 donc -8x^3<0 et 3x²+1>0 donc g(x)<0 sur [0 ; +OO[

Quand x<0 , ...............................
A vous de continuer
Bon courage