DM de maths

[Marine]

Bonjour SOS Math,
Voilà, j'ai actuellement un DM de maths auquel je me suis investi. Mais je me retrouve bloqué a un question,
voici l'énoncé :

Coût moyen de fabrication
Le coût total de fabrication d'une quantité x d'un produit, exprimée en centaines d'unités, est
défini sur l'intervalle [10 ; 100] par :
C(x) = 2x²+80x+1800; C(x) étant expromé en milliers d'euros.
Le coût moyen de fabrication par centaine d'objets est :
Cm(x) = C(x) / x

1a. En utilisant la table de votre calculatrice, calculer Cm(x) pour les valeurs de x suivantes :
10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80 ; 80 ; 90 et 100.
Quel semle être le minimum de la fonction CM ?

b. Démontrer que Cm(x)-Cm(30) = (2/x)(x-30)²

c. En étudiant le signe de cette expression, retrouver le résultat de la conjecture faite en a.
Déduiser-en la quantité d'objet à favriquer pour avoir un coût moen minimal.

2. On suppose que le prix de vente d'un centaine d'objet est égale à 210 000 euros.
a. Expliquer pourquoi l'entreprise est rentable lorsque C(x) ≤ 210x.

b. Résoudre cette inéquation. En déduire le nombre maximum et le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit fabriquer pour être rentable.



Ensuite :

1a. J'ai utilisé la fonction liste de ma calculatrice, j'ai donc trouvée :
Cm(10) = 280
Cm(20) = 210
Cm(30) = 200
Cm(40) = 205
Cm(50) = 216
Cm(60) = 230
Cm(70) = 245,71
Cm(80) = 262,5
Cm(90) = 280
Cm(100) = 298
Sur l'intervalle [10;100] le minimum de la fonction semble être Cm30) = 200.

b. Pour démontrer que les deux formules sont égales , je les ai développées chacune de leur côtés. J'ai alors trouvé
les deux même formule : (2x²-120x+1800)/x.

c. C'est à partir de cette question que je me trouve bloquée.

En vous remerciant d'avnce de votre aide. Marine.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marine,

Ce que tu as fait est correct,

b) Tu as démontré que Cm(x)-Cm(30) = (2/x)(x-30)²
Donc en étudiant le signe de (2/x)(x-30)² tu auras une information sur le signe de Cm(x)-Cm(30). Compte-tenu de ta conjecture, tu devrais réussir à démontrer que pour tout x (positif), \(Cm(x)\geq~Cm(30)\) c'est à dire que \(Cm(x)-Cm(30)\geq~0\)
Je te laisse réfléchir à la façon de démontrer que ce résultat est toujours positif.

Bonne continuation.

[Marine]

Donc pour étudier le signe, je vais devoir réaliser un tableau de signe : S
2/x est donc toujours négatif (NON) suivant la fonction de référence.
Mais pour (x-30)² je ne sait pas comment trouver son signe. Faut-il développer la formule ? ou autre ?

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Attention (2/x) n'est pas toujours négatif.

pour le signe de (x-30)²: Très simple: un carré est toujours...

Réfléchis encore un petit peu.

[Marine]

Re-bonjour,
voilà j'ai réfléchie aux indices que vous m'avez donné :
(2/x) reste un mystère car je me trouve sur l'intervalle [10 ; 100] donc dans la logique 2/x sera toujours positif tout compte fait
(x-30) et positif comme vous me l'avez "dit" le carré d'un nombre et tou jour positif.
Donc si je réfléchie bien l'expression et positive sur l'intervalle [10 ; 100]

Mais ensuite je ne comprend pas comment retrouver le résultat de la conjecture faite en a. Ainsi que la suite de la question c.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Marine,
Il n'y a pas de mystère pour 2/x.
Sur R, 2/x n'est pas toujours positif mais vous avez raison, sur [10,100] 2/x est bien toujours positif et comme vous le dites, Cm(x)-Cm(30)>=0

Vous avez fait le plus difficile
Si Cm(x)-Cm(30)>=0 alors Cm(x)>=Cm(30) pour tout x de [10,100] alors que pouvez en déduire sur Cm(30)?

A bientôt

[Marine]

Doonc si j'ai bien compris, dans ce cas là :
Cm(30) est le coût moyen minimal car il est le plus petit sur [10 ; 100]

2a. 100 objets = 210 000 €
Mais pour prouver que C(x) ≤ 210x
Je ne trouve pas quelle méthode utiliser ?

[SoS-Math(2)]

Marine, pour que l'entreprise soit rentable il faut que le coût de production soit inférieur au prix de vente
Donc calculez d'abord le prix de vente de x centaines unités de produit exprimé en milliers d'euros.
A vos crayons

[Marine]

Je ne comprend pas vraiment le calcul que vous voulez que je réalise.
Pouvez vous m'expliquer plus en détail.
Je m'exuse de ma difficulté de compréhension.
Merci

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,

le prix de vente d'un centaine d'objet est égale à 210 000 euros.

Donc

le prix de vente d'un centaine d'objet est égale à 210 milliers d'euros.

Vous connaissez le prix d'une centaine d'objets, il n'est pas très compliqué de trouver le prix de x centaines d'objets
A bientôt

[Marine]

Et bien le prix de x centaines d'objet sera de 210x
Mais en quoi cela prouve-t-il que l'entreprise et rentable pour : C(x) plus petit que 210x

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marine,

Votre proposition est juste, le prix de vente est 210x.
L'entreprise est rentable quand le coût de production est inférieur au prix de vente. Écris cette relation en utilisant les notations mathématiques. L'inégalité recherchée te semblera alors plus naturelle.

Bonne continuation.

[Marine]

Bonsoir,

Avec la rentrée scolaire j'ai pu me faire expliquer comment procéder.
J'ai donc trouvé que :
2a. On a C(30) = 200 qui est le minimum de la fonction Cm(x) sur [10 ; 100 ]
Or 200 et plus petit que 210
Donc 200 sera plus petit que 210x
On peut donc dire que l'entreprise sera rentable car le coût de farication est inférieur au coût de vente.

2b. Pour cette inéquation je réalise le calcul suivant :
2x²+80x+1800 ≤ 210x
2x - 130x +1800 ≤ 0

∆ = b²-4ac
= (-130)² - (4*2*1800)
= 16 900 - 14 400
= 2 500
∆ > 0, alors l'inéquation admet 2 solution

Xa = 20 nb minimum
Xb = 45 nb maximum

Voilà.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Marine,
votre réponse à la question 2a) n'est pas correcte.

Pour l'inéquation, vous avez cherché delta et trouvé les deux solutions de l'équation 2x² - 130x +1800 = 0
Mais c'est une inéquation que vous devez résoudre.
Il faut faire le tableau de signes de 2x²-130x +1800
Vous avez encore du travail
Bon courage