Calcul avec des suites

[Lucas]

Bonjour.
Je bloque sur une question de DM sur les suites (ES - spé maths) mais je sens que je ne suis pas loin. (Annales : La réunion - Juin 2005)

Je dois démonter que pour tout entier naturel n, \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = -50 x 0,9^n
Je sais que \(u_{n+1}\) = 0,9\(u_{n}\) + 100
et que \(u_{n}\) = 500 x (fois) 0,9^n + 1000

Donc 0,9\(u_{n}\) + 100 - ( 500 x 0,9^n + 1000)
Je remplace \(u_{n}\) par ce qui correspond...
0,9 ( 500 x 0,9^n + 1000) + 100 - ( 500 x 0,9^n + 1000)
=450 x 0,9 x 0,9^n + 900 + 100 - 500 x 0,9^n - 1000 (là je ne suis pas sûr du premier signe de cette ligne, si c'est + ou x)
= 405 x 0,9^n - 500 x 0,9^n
= 0,9^n (405 - 500)
= -95 x 0,9^n
Voilà, je ne sais pas où je me suis trompé.
Merci de votre aide
Lucas

[sos-math(13)]

Bonsoir,

c'est plutôt la méthode qui pose problème. Tu te compliques les calculs.

Tu peux donc :
partir de \(u_{n+1}=0.9u_n+100\) puis retrancher \(u_n\) à chaque membre.
Le premier membre sera celui que tu souhaites évaluer, et dans le second, il y aura du \(u_n\) que tu pourras exprimer en fonction de n, par la formule que tu donnes.

Bon courage.

[Lucas]

Je ne dois pas bien comprendre vos indications car je reviens au point de départ:
Je pars de \(u_{n+1}\) et je retranche \(u_{n}\) à chaque membre :
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = 0,9 \(u_{n}\)+100 - \(u_{n}\)
J'exprime \(u_{n}\) en fonction de n:
= 0,9 (500 x 0,9^n + 1000) + 100 - (500 x 0,9^n + 1000)
Je retombe sur ce que j'avais trouvé au début.

Merci de votre aide

[sos-math(19)]

Bonjour Lucas,

Les indications de sos-math (13) sont très claires.
Tu as d'ailleurs commencé à les suivre correctement.
Cependant, tu te simplifierais les calculs en réduisant l'expression avant le remplacement de \(u_n\) par sa valeur.

Je retombe sur ce que j'avais trouvé au début.

Que veux-tu dire ? Explicite ton résultat.

A bientôt.