Primitive

[Paul]

Soit la fonction définie sur [0;+00] par :f(x)=ln(1+xe^-x). On note f' la fonction dérivée de la fonction f dans un repére orthogonal. On note C la courbe représentative de f dans un repére orthogonal.


Bonjour à tous, pouvais vous me dire si mon intégration par partis est juste:
pour plus de commodité, on ecrira H pour lombda. Du fait de l'absence de ce caractére sur lordi.
Donc nous avons: A(H)= somme de 0 à H f(x) dx avec f(x)=xe^-x.
On pose U'(x)=e^-x qui à pour primitive U(x)= -e^-x
V(x)=x a pour dérivée V(x)=1
Donc: A=[-xe^-x] de 0 à H + somme de O à H de e^-x
=-He^-H - [e^-x] de 0 à H
=- He^-H - e^-H
=-H x -H/e + H/e
= H²/e + H/e
= H²+H/e
Je ne suis donc pas tout à faire sur de mon calcule.
de plus par la suite on nous demande cela: On admet que, pour tout nommbre réel positif U, ln(1+U) inférieur ou égal à U. démontrer alors que, pour tout nombre réel H strictement positif, A(H) inférieur ou égal à -He^-H -e^-H +1. les espace permettent de différencier les terme.
Ainsi, je ne c'est pas comment traiter cette derniére question.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
cette partie du calcul est juste

A=[-xe^-x] de 0 à H + somme de O à H de e^-x
=-He^-H - [e^-x] de 0 à H

La suite est fausse

=- He^-H - e^-H il manque ici + 1
=-H x -H/e + H/e c'est faux car e^(-H) = 1/e^H

\(2$A(H)=-He^{-H}-e^{-H} + 1\)

Je ne comprends pas la question suivante: le A(H) ne doit pas être le même que celui de la question précédente!
Revoyez le texte
A bientôt

[Paul]

nn se n'est effectivement pas le même. Le A(H) en question correspond a f(x)=ln(1+xe^-x). C'est la fonction du début quui est donné dans l'intro.
ainsi il faut démontrer que A(H) inf. ou égal à -He^-H -e^-H +1.
De plus il nous demande ensuite de trouver un majorant de A(5), arrondi au centiéme. Il nous demande par méthode peut on trouver un majorant dans le cas ou H=5.
Or je ne sais pas du tout comment misprendre

[SoS-Math(2)]

Paul, si vous posez U(x) =xe^-x vous avez ln(1+U(x)) <= U(x)
donc si vous passez aux intégrales ......
A vous

[Paul]

Je ne comprend pas quelle est votre démarche.

[Paul]

De plus quelle est la primitive de 1+xe^-x?
Merci

[Paul]

donc j'en arrive à là: f(x)=ln(1+xe^-x)
soit U'= 1+xe^-x à pour primitive U= x-e^-x (x+1)
V= ln x V'= 1/x

Doc il vient que [ln(x-e^-x(x+1))] de o à lombda - somme de o à lombda 1/x(xe^-x(x+1))
Est ce que jusque là c'est bon?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
reprenons:
Si vous posez \(2$U(x)=xe^{-x}\) vous avez \(2$ln(1+U(x)) \leq U(x)\)car pour tout x positif, xe^(-x)>0
\(ln(1+xe^{-x})\leq xe^{-x}\)
D'après les propriétés des intégrales
\(\int_{0}^{H}ln(1+xe^{-x})dx\leq \int_{0}^{H}xe^{-x}dx\)

A vous de continuer

[Paul]

A oui d'accord.
Donc nous connaissons l'intégral de xe^-x. Il nous faut donc celle de ln(1+e^-x)
on pose U'=1+e^-x qui a pour primitive u=x-e^-x(x+1
V=ln x qui a pour dérivée 1/x
insi,nous avons: [ln(x-e^-x(x+1))] de O à H - somme de O à H de 1/x(x-e^-x(x+1)).

[ln(H-e^-H(H+1) - ln(O-e^o(o+1)] - [ 1+xe^-x] de O a H
ln(H-He^-H) - ln(-e^1) - 1+He^-H - 1
lnH -ln He^-H +ln e^1 -2 + He^-H.
Déja jusque la je pence que j'ai du fair des erreurs de calcule.

[SoS-Math(2)]

Paul, relisez votre texte.
On ne vous demande pas de calculer l'intégrale, on vous demande de montrer qu'elle est inférieure ou égale à quelque chose!
J'ai oublié un x dans mon dernier message.
Je l'ai corrigé donc reprenez le.
Dans la dernière inégalité trouvée, l'intégrale à gauche est A(H) et regardez l'expression à droite.
A bientôt

[Paul]

Mais comment le démonter alors si se n'est par le calcule?

[SoS-Math(2)]

Paul, dans mon avant dernier message je vous ai dit que :
\(\int_{0}^{H}ln(1+xe^{-x})dx\leq \int_{0}^{H}xe^{-x}dx\)
A gauche A(H)
à droite , remplacez par la valeur trouvée dans les questions précédentes
et relisez la question que vous cherchez...

[Paul]

Oui je suis d'accord et cela je l'avais compris mais ccepandant en quoi cela le démontre.C'est cela que je ne comprend pas. S'il n'y a pas de calcule à faire je ne comprend pas comment vous voulez que je fasse.

[SoS-Math(2)]

Paul,
cette inégalité est bien la fin d'un raisonnement et vous arrivez à l'inégalité demandée dans le texte. Que voulez-vous faire de plus?

[Paul]

Il me sembler qu'il aurait fallu trouver l'intégral de A(H). puis comparer les deux.
De plus, si l'on veut majorer A(H) avec H=5, par quelle méthode aurais t on pu y arriver?