Produit scalaire

[Nina8]

Bonjour à tous!
Voila, pour m'entraîner j'ai décidé de faire un exercice assez compliqué en maths mais j'ai du mal donc j'aurais besoin de votre aide svp.

Donc voici l'exercice:


Des lieux géométriques


A et B sont deux points tels que AB = 4 et I est le milieu de [AB].

1. E est l'ensemble des points M tels que MA² + MB² = 26. Avec le théorème de la médiane, démontrer qu'un point M appartient à E si, et seulement si, MI² = 9: En déduire l'ensemble E et le représenter.

2. F est l'ensemble des points M tels que MA . MB = 12.
a) Démontrer que pour tout point M, MA. MB = MI²-IA².
b) Démontrer alors qu'un point M appartient à F si, et seulement si, MI² = 16.
c) En déduire l'ensemble F et le représenter.
k est un réel et G est l'ensemble des points M tels que MA -MB = k. Déterminer l'ensemble G en discutant suivant les valeurs de k.

3. H est l'ensemble des points M tels que MA² - MB² = 16.
a) Démontrer alors qu'un point M appartient à H si, et seulement si, IM . AB = 8.
b) Vérifier que le point B appartient à H. En déduire l'ensemble H et le représenter.

Donc en me renseignant on m'a dit de feuilleter dans mon livre, pour trouver quelque chose qui pourrait m'aider surtout pour ca "MA. MB = MI²-IA².", mais je n'ai rien trouvé. Pourriez vous me donner un cour svp, qui puisse me mettre sur la voie, car je n'y arrive pas du tout ou sinon m'aider svp?

Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

MA²+MB²=26 équivaut à \((\vec{MI}+\vec{IA})^{2}+(\vec{MI}+\vec{IB})^{2}=26\)

En développant et en regroupant ce qui faut, on obtient : \(2MI^{2}+IA^{2}+IB^{2}+2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})=26\)

La parenthèse fait le vecteur nul car I milieu de [AB], de plus IA²=IB²=AB²/4

On obtient donc : 2MI²=26-AB²/2=26-8=18

soit MI²=9
soit MI=3

L'ensemble des points M cherché est donc le cercle de centre I et de rayon 3.

Essayer de continuer vous mêmes.

sosmaths