exercice avec des vecteurs

[Marie]

bonjour,

j'ai un exercice à faire pour mercredi mais je ne comprend pas une question

le plan étant muni d'un repère orthonormal (O,\(\vec{i},\vec{j}\)) on donne A(-1;4), B(-4;-2) et C (1;0).
1) calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

comme ABCD est un parallélogramme alors \(\vec{AD}=\vec{BC}\)

\(\vec{BC}=\frac{X_C-X_B}{Y_C-Y_B}=\frac{-1-(-4)}{0-(-2)}=\frac{5}{2}\)
\(\vec{AD}=\frac{X;-1}{Y;4}\)

X-(-1)=5
x=4

Y-4=2
y=6

D(4;6)

2) calculer les coordonnées du point M, intersection des diagonales de ABCD

M(0;2)

3) soit E(6;2). démontrer que B,E et C sont alignés.
\(\vec{CE}=\frac{X_E-X_C}{Y_E-Y_C}=\frac{6-1}{2-0}=\frac{5}{2}\)

\(\vec{CE}(5;2)\) et \(\vec{BC}(5;2)\) donc \(\vec{BC}=\vec{CE}\) alors C est le milieu de [BE] donc B,C et E sont alignés

4) soit F(-7;4). démontrer que (BF) est parallèle à (AC) et que (AF) est parallèles à l'axe des abscisses.

je n'arrive pa à le démontrer

Marie

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marie,

OK pour D, OK pour M, OK pour B, C et E.
Attention toutefois à la présentation, on a deux calculs séparés pour les abscisses et pour les ordonnées, ce n'est pas des fractions, mais cela est peut-être du à l'écriture en TeX.

Pour (BF) et (AC) calcule les coordonnées de ces deux vecteurs et vérifie qu'elles sont proportionnelles, tu auras donc démontrer que les vecteurs sont colinéaires donc que les droites sont parallèles.
Pour (AF), calcule les coordonnées du vecteur AF et vérifie que son ordonnée est nulle.

Bon courage pour la suite

[Marie]

bonjour,

\(\vec{BF}(-3;6)\\\vec{AC}(2;-4)\\\vec{BF}\)proportionnelle à \(\vec{AC}\)
maintenant que j'ai prouvé qu'ils sont proportionneles je fais comment?

\(\vec{AF}(-6;0)\) et maintenant?

Marie

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Tes calculs sont justes.
Applique juste la propriété suivante : (AB) et (CD) sont deux droites parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Ici tu as \(\vec{AC}\) et \(\vec{BF}\) qui ont des coordonnées proportionnelles, ils sont donc colinéaires.
Ensuite raisonne de même avec \(\vec{AF}\) et \(\vec{i}\).

Bonne fin d'exercice

[Marie]

bonjour,

deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k telque \(\vec{v}=k\vec{u}\) ou \(\vec{u}=k\vec{u}\). comme \(\vec{BF}\) et \(\vec{AC}\) sont proportionnelles alors \(\vec{BF}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. si les vecteurs \(\vec{BF}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires alors les droites(BF) et (AC) sont parallèles.

comment faire avec le vecteur \(\vec{i}?\)

Marie

[SoS-Math(11)]

Attention, bien dire que ce sont les coordonnées qui sont proportionnelles et pas les vecteurs, sinon c'est bien pour (AC) et (BF).

Pour \(\vec{i}\) ses coordonnées sont (1 ; 0) et celles de \(\vec{AF}\) sont (-6 ; 0) sont elles proportionnelles ?
Le vecteur \(\vec{i}\) dirige l'axe des abscisses donc que peux-tu conclure pour l'axe des x et la droite (AF) ?
C'est exactement le même raisonnement que pour (AF) et (BC), si tu veux, tu peux remplacer l'axe des x par (OI) avec O(0 ; 0) et I(1 ; 0).

Bonne continuation

[Marie]

bonjour,

j'ai réussi avec i mais j'ai d'autres questions qui me posent problème:

soit H le point défini par \(3\vec{HE}+4\vec{HF}=\vec0\). Montrer que H, E et F sont alignés

\(3\vec{HE}=4\vec{FH}\)
et après....

Marie

[SoS-Math(11)]

Tu as écrit l'égalité : \(3\vec{HE}=4\vec{FH}\) donc \(\vec{FH}\)= \(\frac{3}{4}\)\(\vec{HE}\).
Les vecteurs sont donc colinéaires, les droites sont parallèles et en plus elles ont un point commun donc ... Conclus

[Marie]

bonjour,

j'ai un autre problème:

calculer les coordonnées de H. et montrer que H \(\in\) à la droite (AB)

Marie

[SoS-Math(11)]

Bonjour Marie,

Repars de l'égalité \(3\vec{HE}+4\vec{HF}=\vec0\) et décompose \(\vec{HF}\) à l'aide de la relation de Chasles et en faisant intervenir le point E.
Tu vas donc exprimer \(\vec{EH}\) en fonction du vecteur \(\vec{EF}\) ; calcule les coordonnées de \(\vec{EF}\) et déduis en celle de \(\vec{EH}\), puis celles de H.
Détermine ensuite les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AH}\) et vérifie qu'elles sont proportionnelles et conclus comme dans les premières questions.

Bon courage pour la suite de l'exercice

[Marie]

bonjour,

j'ai une piste mais...

\(\frac{3}{4}\left\( \begin{matrix} X_E&-&X_H&\\ Y_E&-&Y_H& \end{matrix} \right)=\left\( \begin{matrix} X_H&-&X_F&\\ Y_H&-&Y_F& \end{matrix} \right)\\\frac{3}{4}\left\( \begin{matrix} 6&-&X_H&\\ 2&-&Y_H& \end{matrix} \right)=\left\( \begin{matrix} X_H&+&7&\\ Y_H&-&4& \end{matrix} \right)\)

Marie

[SoS-Math(11)]

Tu as bien \(\vec{EH}=\frac{4}{7}\vec{EF}\)
Les coordonnées de \(\vec{EF}\) sont bien (-13 ; 2) et celles de \(\vec{EH}\) sont (\(-\frac{52}{7};\frac{8}{7})\), fais bien attention à ne pas noter comme tu l'as fait, sinon c'est juste.
Tu peux alors conclure pour H et poursuivre.

[Marie]

bonjour,

H(\(\frac{94}{7};\frac{6}{7}\))

Marie

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je ne suis pas d'accord avec ta réponse tu as : \(x_H=\frac{-52}{7}+x_E\) ; de même pour l'ordonnée
Refais tes calculs.

Bon courage

[Marie]

bonjour,

\(H(\frac{-10}{7};\frac{22}{7})\)

Marie