problème

[Cyrielle]

Ma fille a un exercice de mathématique que l'on arrive pas à résoudre.
Le sujet :
Quel est le chiffre d'unité de 7 puissance 2010, expliquer comment vous êtes arrivé à ce résultat.

Merci de votre aide

[sos-math(19)]

Bonsoir Cyrielle,

Je vous suggère d'observer le chiffre des unités de \(7^n\), pour \(n\) entier de 0 à 11 par exemple.

Cette observation devrait suffire à vous mettre sur la voie.

A bientôt.

[Cyrielle]

Je serais tenter de dire que le chiffre serais 0, mais sans conviction

[SoS-Math(11)]

Prends le temps de bien lire le message qui t'as été envoyé, remarque qu'il n'y a aucune puissance de 7qui se termine par 0. Remarque aussi que les derniers chiffres se répètent.

Bon courage

[Cyrielle]

Oui c'est stupide, il me semble que toutes les puissance de 7 finissent par les chiffres 1, 3, 7 ou 9. Maintenant j'ai l'embarras du choix. gggrrr

[sos-math(19)]

Bonsoir Cyrielle,

Vous observez donc que, lorsque n augmente de 4, on retrouve le même chiffre des unités.

Ceci suggère d'effectuer la division entière de 2010 par 4.

A vous de jouer.

[Cyrielle]

Je suis désollée je ne comprends pas.
Au bout de la quatrième fois on retombe toujours sur l'unité 9. C'est donc le chiffre 9 qui est concerné ?

[Cyrielle]

Bonsoir.

Je suis désolée mais je ne comprends pas. Après l'avoir multiplié 4 fois par lui même on tombe toujours sur le chiffre 9, c'est donc lui l'unité ? Si c'est le cas, je n'ai pas compris pourquoi. Il faut en fait voir combien de fois il faut multiplier ce nombre par lui même pour tomber sur le chiffre demandé ?

[Cyrielle]

En fait si je comprends bien, il faut multiplier 4 fois le chiffre par lui même pour retomber sur la même unité qui est 9. Donc 9 serait l'unité recherchée .

[sos-math(19)]

Bonsoir Cyrielle,

Refaites vos calculs de puissances.
Je ne comprends pas vos observations.

7^0 = 1
7^1 = 7
7^2 = 49
7^3 = 343
7^4 = 2401

Pour 7^4, le chiffre des unités est 1, comme pour 7^0.
Sans effectuer le calcul complet de 7^5, on peut déjà prévoir qu'il vaudra 7, comme celui de 7^1.

Continuez vous-même pour vous convaincre de ce retour périodique du chiffre des unités.
Suivez ensuite l'indication de mon message précédent.

A bientôt.

NB : le symbole ^ est suivi de l'exposant de la puissance de 7.

[Cyrielle]

Je vais suivre vos conseils, je ne vous embête pas plus longtemps.
Ce que vous faites semble être une passion.
Je vous remercie et vous félicite

[sos-math(19)]

Bonsoir Cyrielle,

Je vous encourage à continuer, mais aussi, à prendre le temps d'expérimenter entre deux messages.


Voici une autre indication qui pourra s'avérer utile dans votre recherche :

Tout nombre \(N\) peut s'écrire sous la forme \(4\times{q}+r\).
Le chiffre des unités est directement lié à la valeur de \(r\) dans l'écriture précédente.

A bientôt.

NB : la division euclidienne est au programme de la troisième.

[Cyrielle]

les maths et moi ce n'est pas une histoire d'amour ;)
Je me pencherai sur tout cela demain matin. Merci beaucoup
et bonne soirée

[Jerôme]

Bonsoir, aprés en avoir discuté avec Cyrielle, voici ce que j'ai pu trouver :


pour n'importe quel puissance de 7 il faut regarder les deux derniers nombre de la puissance :

si la puissance de 7 fini par les nombres :
02 06 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94 98
Alors l'unité du nombre en question sera : 9

si la puissance de 7 fini par les nombres :
00 04 08 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96
Alors l'unité du nombre en question sera : 1

si la puissance de 7 fini par les nombres :
01 05 09 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
Alors l'unité du nombre en question sera : 7

si la puissance de 7 fini par les nombres :
03 07 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83 87 91 95 99
Alors l'unité du nombre en question sera : 3


Dans notre cas, 2010 fini par 10, donc l'unité de 7 a la puissance 2010, c'est : 9


C'est un peu empirique, mais ça fonctionne très bien, et pour n'importe quel puissance de 7, même immensément grande.

Ensuite, je ne sais pas le prouver par le calcul, mais je sais simplement que pour chaque série on avance de 4 en 4.

J'ai cherché du coté des suites arithmétiques et géométriques, mais ça doit pouvoir s'expliquer plus simplement si c'est au programme de la 4eme.
Mais je ne vois pas ... ! :p

[Cyrielle]

J'en perds mon latin. Maintenant j'hésite entre le 1 qui me permet de faire ce cycle dont vous me parler, ou du 7 qui reste la base de ce cycle.
Je vais en rester là, j'attendrai la réponse de la correction de ma fille.
Je vous remercie mais en math on ne peut plus rien pour moi ;)
Je vous souhaite une bonne continuation et vous remercie pour votre aide et votre soutien.