Vecteurs dans l'espace

[Elise]

Bonjour,

j'ai un DM - Espace, Vecteurs, Equations- à faire et je rencontre plusieurs petits soucis...

Dan un exercice, je dois prouver qu'un repère est othonormé:
" On considère le cone C de centre O et d'équation : y² +z² = x².
Soit P le plan d'équation z = 1 et A(0,0,1). On appelle H l'intersection de P et C.
On pose : vecteur u = 1/√2 (vecteur i + vecteur j) et vecteur u = 1/√2 (vecteur -i + vecteur j). Justifiez que (A;u;v) est un repère orthonormé de P."

J'ai alors dit que d'une part le vecteur u et le vecteur v ont même norme car le coefficient appliqué à leurs composantes est le même (1/√2 en l'occurence)
Mais je voudrais donc aussi dire que le vecteur u et le vecteur v sont orthogonaux.. Mais je ne sais pas comment le justifier.. Je crois que ça se fait à l'aide du produit scalaire, mais nous ne l'avons pas encore étudié donc je pense qu'il y a une autre solution pour le prouver, mais je ne vois pas laquelle... Pourriez-vous me donner une piste?

Et je voulais aussi vous demander si cette réponse est correcte; il faut déterminer l'équation de H : x² - y² = 1 (je l'ai calculé à l'aide d'un système)

Merci beaucoup!

[SoS-Math(2)]

Bonjour Elise
l'équation de H est correcte.
Mais sans le produit scalaire, je ne vois pas comment démontrer simplement que les vecteurs sont orthogonaux.

Eventuellement, on peut considérer dans le plan O,i,j le point A tel que \(2$\vec{OA}=\vec{i}\) et B tel que \(2$\vec{OB}=\vec{j}\)
Soit le carré OACB . Alors
\(2$\vec{OC}=\vec{i}+ ........\)
et \(2$\vec{BA}=\vec{i}-.....\)
or (AB) et (OC) sont ........
donc

Mais ce n'est pas la meilleure méthode!
Bon courage