Dm complexe et suite

[kumiko-san]

Bonjour, j'ai un dm pour demain, je l'ai fait cependant il y a juste quelques petites choses dont je ne suis pas sure :

On considère la suite (Un) définie pour tout entier n par (2n+1)/(n+2).
Montrer de trois façon que la suite (Un) est strictement croissante :
- avec la différence (Un+1)-(Un)
- avec le quotient ((Un+1)/(Un)
- avec la fonction f associée.

(Un+1)-(Un)= (2(n+1)+1/(n+1)+2)- (2n+1)/n+2
= (2n+2+1 / n+3) - (2n+1/n+2)
= (2n+3/ n+3) - (2n+1 / n+2)
= (2n²+4n+3n+6-2n²-6n-n-3)/(n²+2n+3n+6)
= 3/ (n²+5n+6) voilà ce que je trouve, puis-je dire que n²+5n+6 est positif pour tout entier n et donc que la suite est croissante? Mais suffit-il juste d'admettre ou faut-il le prouver?

((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3) et si je fais:
Pour prouver que c'est supérieur à 1:
((Un+1)/(Un)= (2n+2+1)/(n+3) * (n+2)/(2n+1)
= (2n²+4n+2n+4+n+2)/ (2n²+n+6n+3)
= (2n²+7n+6) / (2n²+7n+3)
= (n(2n+7+6/n))/(n(2n+7+3/n)
= (2n + 7 + 6/n) * (1/2n + 1/7 + n/3) Je simplifie, 2n par 2n, 7 par 7 et n par n donc il me reste
= 6 * 1/3
= 6/ 3
= 2 > 1
est-ce bon?

Un = f(x) = (2x+1)/(x+2)
f'(x) = 3/ (x+2)² >0
donc je fais un tableau de signe avec f(x) strict croissante car f'(x) est du signe de 3 puisque (x+2)² >0 ?

Exercice 2, je l'ai fait mais j'aimerais être sure.. merci !
1) Soit q un nombre complexe différent de 1 ; soit n un entier naturel.
On envisage la somme : S= 1+q+q2+...+qn+1+qn.
Calculer qS, puis S-qS. En déduire que S=(1-qn+1)/(1-q)

2) On considère le nombre complexe a=ei2π/5
a) Démontrer que : 1+a+a2+a3+a4=0
b) Montrer que a3=(a barre)2
c) En déduire que : (a+a barre)2+(a+a barre)-1 = 0
d) Résoudre dans R l'équation : 4x2+2x-1=0
e) calculer a+a barre et en déduire la valeur exacte de cos(2π /5)


1) qS = q+q²+...+q ^n+1
S-qS = 1 - q^(n+1)
S-qS = S(1-q)
S = (1- q^(n+1))/1-q

2) a) S= 1 + a +a²+ a^3 +a^4 = (1-a^5)/(1-a)
Or a^5 = 0 donc S = 0

b) a^3= (ei2pi6)^3= ei6pi/5= ei-4pi/5
et abarre² = (e-i2pi/5)²=ei-4pi/5 = a ^3
a^4= (ei2pi/5)^4=ei8pi/5= ei-2pi/5= a barre

c) (a+abarre)²+(a + abarre) -1 =a²+abarre²+2aabarre + a + abarre -1 = a²+a^3+2+a+a^4-1= 1 +a+a²+a^3+a^4 = 0

d) 4x²+2x-1 = 0
discriminant = 20>0
s1 = -1/4 -racine de5/4
s2 = -1/4 +racine de5/4

e) avec les formules d'euler et de l'equation c) on obtient alors :
4cos²a+2cosa-1=0 d'où cos 2/5 = (racine de 5-1)/4

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Je vais vous donner mon avis sur les méthodes :

1ère méthode : Il faut étudier le signe de n²+5n+6

2ème méthode : vos simplifications à la fin sont fausses.

Il faut étudier les signes de 2n²+7n +6 et de 2n²+7n +3 puis le signe du quotient.

3ème méthode : juste

exercice 2

S est juste

mais a^5=1 et non pas 0.

La suite me semble juste mais j'ai du mal à lire b)

sosmaths