exercice avec des vecteurs

[Marie]

bonjour,

j' ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas

ABCD est un parallélogramme de centre O.
les points M et N sont définis par: \(3\vec{AM}-2\vec{AB}\) et \(\vec{CD}+3\vec{DN}=\vec0\)
1) exprimer \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}.\) placer M
2) exprimer \(\vec{CN}\) en fonction de \(\vec{CD}.\) placer N.
3) prouver que O est le milieu de [MN].

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Vous avez commencé?
On sait que \(3\vec{AM}-2\vec{AB}=\vec{0}\).
On peut peut-être transposer à droite du signe égal \(2\vec{AB}\).
A bientôt.
Ps: il faut dire ce que vous avez fait.

[Marie]

bonjour,

tout ce que j'ai réussi à faire c'est à placé M!
le reste je n'y arrive pas.

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Le placement du point M est faux.
\(3\vec{AM}=2\vec{AB}\)
Donc \(\vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AB}\).
Il faut revoir votre figure.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

j'ai refais la figure en placant N et M.

comment puis je exprimer \(\vec{AM}\)en fonction de \(\vec{AB}\)?

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Je vous ai exprimé dans mon dernier message \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
Je vous ai montré qu'on a \(\vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AB}\).
Les positions de vos points M et N ne conviennent pas.
Pour placer le point M, il faut partager le vecteur \(\vec{AB}\) en trois et en prendre 2 parts à partir du point A.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marie,

Tes points M et N sont bien placés. As-tu réussi à exprimer \(\vec{DN}\) en fonction de \(\vec{DC}\) ? Il faut procédé comme pour \(\vec{AM}\).

A bientôt

[Marie]

bonjour,

\(\vec{CD}=-3\vec{DN}=3\vec{ND}\)

est ce juste?
Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marie,

Oui,\(\vec{CD}=3\vec{ND}\) mais ici on te demande d'exprimer \(\vec{CN}\) en fonction de \(\vec{CD}\). Un petit travail de calcul en utilisant la relation de Chasles devrait t'aider à répondre.

A bientôt.

[Marie]

bonjour,

\(\vec{CD}=3\vec{ND}\)
\(\vec{ND}=1/3\vec{CD}\)
\(\vec{CD}=\vec{CN}+\vec{ND}\)
\(\vec{CD}=\vec{CN}+1/3\vec{CD}\)
\(2/3\vec{CD}=\vec{CN}\)

Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

C'est très bien Marie.

Bonne continuation.

[Marie]

bonjour,

comme ABCD est un parallélogramme de centre O alors \(\vec{AB}=\vec{DC}\)

\(\vec{AM}=2/3\vec{AB} et \vec{CD}=2/3\vec{CN}\)
\(\vec{AM}=2/3\vec{AB} et \vec{DC}=2/3\vec{NC}\)

suis je sur la bonne voie?
Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marie,

Je suppose que tu cherches à démontrer que O est le milieu de [MN]. Pour cela, il faut comparer les vecteurs \(\vec{MO}\) et \(\vec{ON}\).
Écris \(\vec{MO}\) en utilisant le point A et \(\vec{ON}\) en utilisant le point C.
Ta remarque concernant le parallélogramme et son centre O rentre alors en jeu.

Je te laisse chercher.

[Marie]

bonjour,

\(\vec{MO}=\vec{MA}+\vec{AO}\)
\(=2/3\vec{BA}+1/2\vec{AC}\)
\(\vec{ON}=\vec{OC}+\vec{CN}\)
\(=1/2\vec{AC}+2/3\vec{CD}\)

Marie