Exercice fonction

[Daphné]

Bonjour, je m'entraîne à faire des exos pour un futur contrôle, pouvez-vous me dire si ce que j'ai fait est juste ?
Merci d'avance pour votre future aide.
Daphné.

Enoncé :
Montrer que la fonction f définie par f(x) = (2) / ( (x+1)² +1 ) est bornée sur l'intervalle [ -4; 4]

Réponse:
f peut s'écrire f(x) = (2) / (x² + 2x +2)

Calculons la dérivée : f '(x) = ( -4x-4) / (x² +2x +2)²

Comme le dénominateur est positif alors f est du signe de -4x-4 d'où x = -1

x -4 -1 4
f '(x) + 0 -

L'image de -4 est 1/5
f(x) est croissante sur l'intervalle [-4;-1] en 2 et décroissante sur [-1;4] en 1/13

f(x) est majorée en -1 par 2 et minorée en -4 et 4 par 1/5 et 1/13

Je crois qu'il y a un problème, c'est possible qu'une fonction ait deux minorants ? Si oui, faut-il prendre les deux ou n'en prendre qu'un seul ?

Merci!

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Pour répondre à ta question : oui une fonction peux avoir deux minorants, et même si elle en a un , elle en a une infinité. En effet si A est un minorant de f, alors tout nombre plus petit que A est aussi un minorant.

MAIS dans ton exercice 1/13 est un minorant de f sur [-1;4] mais 1/13 n'est pas un minorant de f sur[-4;4]

Par contre 1/5 est un minorant de f sur [-4;4].


Ce que tu as fait par ailleurs est juste.

sosmaths

[Daphné]

Bonsoir,

Je ne comprends pas très bien, j'ai fait mon tableau sur l'intervalle [-4;4], or -1 fait bien parti de cet intervalle, je n'arrive pas à comprendre pourquoi 1/13 n'est pas un minorant, s'il ne l'est pas alors 1/5 ne l'est pas non plus vu qu'il appartient à l'intervalle [-4;-1] (selon le tableau de variation)
Je suis désolée c'est assez confus! Pouvez-vous me re expliquer?

Merci.

[SoS-Math(4)]

C'est moi qui me suis trompé, excuses moi , je rectifie :

1/5 est un minorant de f sur [-4;-1], mais 1/5 n'est pas un minorant de f sur [-4;4]

Par contre 1/13 est un minorant de f sur [-4;4].

Tous les nombres plus petits que 1/13 sont des minorants de f sur [-4;4].

Dis moi si tu comprends mieux maintenant.

sosmaths

[Daphné]

Bonsoir,

En fait pour trouver le bon minorant, on doit prendre à chaque fois le plus petit de tous les minorants présents dans le tableau de variation ??

Merci.

[SoS-Math(4)]

Il faut choisir un nombre plus petit ou égal que toutes les valeurs atteinte par f(x).

sosmaths

[Daphné]

Ok, merci beaucoup pour votre aide!

[SoS-Math(4)]

pas de quoi,

sosmaths