vecteurs, produits scalaires et géométrie analytique

[Jonathan]

Bonjour et bonne année !
J'ai réussi une partie de mes exercices mais certaines questions me laissent perplexes. J'ai beau essayer, je bloque irrémédiablement. Je serais très heureux si vous pouviez m'aider. Les * représentent les flèches sur les vecteurs et les (( )) les normes.
Soit un carré ABCD de côté 1. Ses diagonales se coupent en O.
Partie A : Ce que j'ai réussi :
1) Prouver que G, barycentre de (A,1) , (B-4), (C,1), est le symétrique de O par rapport à B.
2)b) Déterminer l'ensemble E défini par ((MA*-4MB*+MC*))=((MA+MC-2MD)). Il s'agit du cercle de centre G et de rayon DO.
Ce que je ne réussi pas :
2)a) Montrer que pour tout point M du plan, MA*-4MB*+MC*= -2MG* et que MA*+MC*-2MD*=DB*.
3) Déterminer l'ensemble F défini pour tout point M par (MA*-4MB*+MC*)scalaire(MA*+MC*-2MD*)= -6.
Partie B : Ce que j'ai réussi :
1) Démontrer que GB²=OB²=1/2 et que AG²=GC²=5/2.
2)b) Déterminer l'ensemble T tel que MA²-4MB²+MC²=-2.
c) Prouver que l'ensemble T passe par A et C.
d) Construire T (il s'agit du cercle de centre G et de rayon racine carrée de (5/2)).
3)b) Déterminer l'ensemble L tel que MO²+MG²-2MC²=1.
c) Prouver que L passe par O.
d) Construire L (il s'agit de la médiatrice de [BC]).
Ce que je ne réussi pas :
2)a) Montrer que MA²-4MB²+MC²= -2MG²+3.
3)a) Prouver que MO²+MG²=2MB²+1.
Partie C : Ce que j'ai réussi :
1) Dans le repère (A, AB, AC), donner les coordonnées de chaque point.
A(0;0) ; B(1;0) ; C(1;1) ; D(0;1) ; O(1/2 ; 1/2) et G (1,5 ; -0,5).
Ce dont je ne suis pas sûr :
2)a) Soit M(x;y). Exprimer MA²-4MB²+MC² en fonction de x et y. J'arrive à
-2x²-2y²+6x-2y-2.
Ce que je ne réussi pas :
2)b) Démontrer en utilisant le calcul analytique que T est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
3) Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble L.
Voilà vous en savez maintenant autant que moi sur mon problème. Merci de me faire part de vos idée et encore bonne année à tous.

[SoS-Math(2)]

Bonne année à vous aussi Jonathan!

Pour la question 2a), vous devez utiliser la propriété fondamentale du barycentre.
G étant le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c), quel que soit le point M du plan,
\(a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}=(a+b+c)\vec{MG}\)

Pour le 3)
En utilisant les égalités du 2)a)
\((\vec{MA}-4\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}+\vec{MC}-2\vec{MD})=-6\)
s'écrit
\(-2\vec{MG}.\vec{DB}=-6\)
donc \(\vec{MG}.\vec{DB}=-3\)
Pour démarrer, il faut commencer par trouver un point H de la droite (DB) tel que \(\vec{HG}.\vec{DB}=-3\)

Nous verrons ensuite pour les autres questions
Bon courage

[Jonathan]

Merci mais êtes-vous sûr que ce n'est pas plutôt -2MG*.DB*=-6 donc MG*.DB*= 3 (en divisant par -2) ?

[SoS-Math(2)]

Bien sur, vous avez raison Jonathan!
Bon courage

[Jonathan]

J'essaie mais je ne vois pas du tout comment trouver le point H. :(

[sos-math(19)]

Bonjour Jonathan,

\(\vec{GH}.\vec{BD}=3\), donc \(\vec{GH}\) et \(\vec{BD}\) sont colinéaires et de même sens. Il en résulte que leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs et comme tu connais la longueur de \(BD\), tu peux en déduire celle de \(GH\), donc positionner \(H\).

Bonne continuation.

[Jonathan]

Ah oui merci beaucoup !!!

[sos-math(19)]

Bonsoir Jonathan,

Il 'y a pas de quoi.

Nous sommes là si tu as d'autres questions.