Suites 2

[Audrey]

Bonjour,
j'ai toujours un problème avec mon DM de maths, mais à l'exercice 2.

On défini les suites (Un) et (Vn) par Uo=3 et Vo=5 (n € N)
U(n+1)=(2UnVn)/(Un+Vn) V(n+1)=(Un+Vn)/2

1. Montrer que les termes des suites (Un) et (Vn) son strictement positifs.
2. Montrer que pour tout entier natureln n : V(n+1)-U(n+1)=(Vn-Un)^2/2(Un+Vn)
3. a) Pour tout n € N, on pose Wn=Vn-Un. Montrer que pour tout entier naturel n:
0<W(n+1)<(1/2)Wn
b) En déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n:
0<Wn<(1/2)^(n-1)
c) La suite (Wn) est-elle convergente?
4. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
5. A l'aide de la suite (UnVn), déterminer la limite commune des suites (Un) et (Vn).
6. Calculer la valeur exacte de U2 et V2 et en déduire un encadrement de racine(15) par deux rationnels.

La 1,2,3 a) et b) ne m'ont pas posées vraiment de problème. Cependant, je bloque à partir de la 3 c).
Comment fat-on pour démontrer qu'une suite est convergente?
Après, je sais que pour démontrer que 2 suites sont adjacentes il faut prouver qu'elles sont l'une croissante, l'autre décroissante et qu'elles admettent une limite finie en +l'infini. Le problème c'est que je n'arrive pas à calculer la limite.
Pouvez-ous m'aider svp?
Merci d'avance
Audrey

[SoS-Math(2)]

Bonjour Audrey,
Pour démontrer que la suite est convergente, utliser le théorème des gendarmes pour trouver sa limite.
Revoyez la définition des suites adjacentes !
Une est croissante, l'autre décroissante et la suite Un-Vn (c'est à dire ici Wn) tend vers 0
Bon courage