vecteur colinéaire

[Marie]

bonjour,

j'ai un exercice à faire pour lundi .

On considère le parallélogramme ABCD.
F est le symétrique de A par rapport à B. E est le symétrique de A par rapport à D.
1) Montrer que CF+CE=0 . Que peut-on en déduire pour le point C ?

je n'arrive pas à prouver que CF et CE sont colinéaires malgré ça j'en ai déduit que C est le milieu de EF.

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Je vous conseille d'écrire en utilisant la relation de Chasles: \(\vec{CF}=\vec{CB}+\vec{BF}\) puis \(\vec{CE}=\vec{CD}+\vec{DE}\).
N'oubliez pas les données du problème:
F est le symétrique de A par rapport à B, donc \(\vec{BF}=\dots\).
E est le symétrique de A par rapport à D, donc \(\vec{AD}=\dots\).
Ensuite, on a un parallélogramme et un certain nombre d'égalités vectorielles.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

parallélogramme:côtés opposés de même longueur donc AB=DC et AD=BC
comme F est le symétrique de A par rapport à B alors AB=BF
comme E est le symétrique de A par rapport à D alors AD=DE

\(\vec{CF}\)=\(\vec{CB}\)+\(\vec{BF}\)
\(\vec{CE}\)=\(\vec{CD}\)+\(\vec{DE}\)

\(\vec{BF}\)=\(\vec{AB}\)=\(\vec{DC}\)
\(\vec{BA}\)=\(\vec{CD}\)=\(\vec{FB}\)
\(\vec{AD}\)=\(\vec{DE}\)=\(\vec{BC}\)
\(\vec{DA}\)=\(\vec{ED}\)=\(\vec{CB}\)

\(\vec{AD}\)=\(\vec{DE}\)=\(\vec{BC}\)
\(\vec{DA}\)=\(\vec{ED}\)=\(\vec{CB}\)

\(\vec{CF}\)=\(\vec{CB}\)+\(\vec{BF}\)
\(\vec{CF}\)=\(\vec{DA}\)+\(\vec{AB}\)

\(\vec{CE}\)=\(\vec{CD}\)+\(\vec{DE}\)
\(\vec{CE}\)=\(\vec{BA}\)+\(\vec{AD}\)

\(\vec{CE}\)+\(\vec{CF}\)=\(\vec{DA}\)+\(\vec{AB}\)+\(\vec{BA}\)+\(\vec{AD}\)
=\(\vec{DD}\)=\(\vec{0}\)

comme \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) sont colinéaires alors C est le milieu de [EF]

Marie et bon réveillon

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Ouah!!! le beau message. C'est parfait.
A bientôt et amusez-vous bien ce soir.

[Marie]

bonjour,

mon exo n'est toujours pas fini

2) L est le point défini par \(\vec{AE}\)=\(\vec{FL}\) . Montrer que \(\vec{CA}\)+\(\vec{CL}\)=\(\vec{0}\).
3) On considère les points I, J, K définis par \(\vec{CI}\)=\(\vec{AC}\)+\(\vec{BD}\) ;\(\vec{CJ}\)=\(\vec{AC}\)+\(\vec{DB}\) ;
\(\vec{CK}\)=\(\vec{CA}\)+\(\vec{DB}\) ; \(\vec{CM}\)=\(\vec{CA}\)+\(\vec{BD}\) .
Compléter la figure.
a) Montrer que \(\vec{CI}\)+\(\vec{CK}\)=\(\vec{0}\) et \(\vec{CJ}\)+\(\vec{CM}\)=\(\vec{0}\).
b) En déduire la nature du quadrilatère IJKM.
c) Montrer que A, F, L et E sont les milieux des côtés de IJKM.

pour la question 2
\(\vec{CA}\)=\(\vec{CD}\)+\(\vec{DA}\)
\(\vec{CL}\)=\(\vec{-CD}\)+\(\vec{DE}\)

\(\vec{CA}\)+\(\vec{CL}\)=\(\vec{CD}\)-\(\vec{CD}\)+\(\vec{DA}\)+\(\vec{DE}\)=\(\vec{0}\)


merci Marie

[Marie]

bonjour,

je dois prouver que C est le milieu de EF est ce que ma résolution est juste?

comme la somme \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) est égale à \(\vec{0}\) alors leur somme est égal à un vecteur nul.
comme \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) sont égals à un vecteur nul, le vectuer nul est un vecteur dont la longueur est égal à 0, alors \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) ont même direction même longueur mais sont de sens opposés. si \(\vec{AI}\)=\(\vec{IB}\) alors I est le milieu de \(\vec{AB}\), comme \(\vec{CE}\)=\(\vec{-CF}\) alors C est le milieu de \(\vec{EF}\)

Marie et bonne année

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Oui, c'est très bien quoiqu'un peu redondant.
Il faut que vous voyez avec votre professeur ce qu'il exige exactement en ce qui concerne la rédaction.
A bientôt.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Je réponds seulement à la question 2.
Vous ne pouvez pas dire que \(\vec{CL}=-\vec{CD}+\vec{DE}\).
On a le droit d'utiliser les données de l'énoncé ou ce que l'on a démontré ou des théorèmes, mais pas ce que l'on voit sur une figure...
Pour résoudre la question 2., il s'agit d'écrire: \(\vec{CA}+\vec{CL}=\vec{CE}+\vec{EA}+\vec{CF}+\vec{FL}\) (utilisation de la relation de Chasles).
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

question2
comme L est le point défini par \(\vec{AE}=\vec{FL}\) alors \(\vec{EA}+\vec{FL}=\vec0\)
comme \(\vec{CE}+\vec{CF}=\vec0\) (prouver dans la question 1) alors \(\vec{CA}+\vec{CL}=0\)

question 3a

\(\vec{CI}+\vec{CK}=\vec{AC}+\vec{BD}+\vec{CA}+\vec{DB}=\vec0\)
\(\vec{CJ}+\vec{CM}=\vec{AC}+\vec{BD}+\vec{CA}+\vec{DB}=\vec0\)

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Tes deux questions 2. et 3a. sont très bien résolues.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

question3b

comme \(\vec{CI}+\vec{CK}=\vec0\) et \(\vec{CJ}+\vec{CM}=\vec0\) alors C est le milieu de [KI] et de [MJ].si un quadrilatère à ses diagonales qui se coupent en leurs milieux alors c'est un parallélogramme

question 3c

\(\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CM}\)
\(\vec{AM}=\vec{AC}+\vec{CA}+\vec{BD}=\vec{BD}\)
\(\vec{AK}=\vec{AC}+\vec{CK}\)
\(\vec{AK}=\vec{AC}+\vec{CA}+\vec{DB}=\vec{DB}\)
j'ai réussi à prouver que A est le milieu de [MK] mais je n'arrive pas à prouver les autres.

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
C'est bien pour la question 3b.
Pour la question 3c., vous avez raison pour le point \(A\) puisque vous avez réussi à démontrer que \(\vec{AM}+\vec{AK}=\vec{0}\).
Pour le point \(F\), il faut faire pareil.
Regarder bien votre figure, il y a des éléments de "symétries".
Par exemple, on pourra démontrer que \(\vec{FJ}+\vec{FK}=\vec{0}\).
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

pour prouver que L est le milieu de [IJ]

comme \(\vec{CA}+\vec{CL}=\vec0\) alors \(\vec{AC}=\vec{CL}\)
\(\vec{LI}=\vec{LC}+\vec{LC}+\vec{AC}+\vec{BD} \vec{LI}=\vec{LC}+\vec{CL}+\vec{BD}=\vec{BD}\)

\(\vec{LJ}=\vec{LC}+\vec{LC}+\vec{AC}+\vec{DB} \vec{LJ}=\vec{LC}+\vec{CL}+\vec{DB}=\vec{DB}\)

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Dans \(\vec{LI}\) et \(\vec{LJ}\), il y a un \(\vec{LC}\) de trop.
On doit avoir par exemple: \(\vec{LI}=\vec{LC}+\vec{CI}=\vec{LC}+\vec{AC}+\vec{BD}\).
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

\(\vec{LI}=\vec{LC}+\vec{CI}\)
\(\vec{LI}=\vec{LC}+\vec{AC}+\vec{BD}=\vec{LC}+\vec{CL}+\vec{BD}=\vec{BD}\)

\(\vec{LJ}=\vec{LC}+\vec{CJ}\)
\(\vec{LJ}=\vec{LC}+\vec{AC}+\vec{DB}=\vec{LC}+\vec{CL}+\vec{DB}=\vec{DB}\)

Marie