Aide pour un exercice de math sur les fonctions

[Dorian]

Bonjour, j'amerais avoir un peu d'aide pour terminer cette exercice de math
Il se présente ainsi:

Soit n un entier non nul et fn la fonction définie sur [0;+infini] par
\(fn(x)=1-\frac{2n}{x+n}-e^{-x}\)

1a)étudier les variation de fn
b)précisez fn(0) et la limite de fn en +infini

Je n'ai pas de difficultés pour ces questions ou je trouve:
Fn strictement croissante
Fn(0)=-2
et 1 comme limite

2a) Calculez fn (n) et précisez son signe
b) Par récurrence: demontrer que
\(e^{n+1}>2n+1\)
c)déduisez-en le signe de fn(n+1)

Pour le signe de fn(n) en remplaçant x par n puis en simplifiant j'obtient
Fn(n)=exp(-n)
Ce qui donne un signe positif

 ma démonstration par réccurence sans l'initialisation est:
Supposons
 \(e^{n+1}>2n+1\) vrai
Alors  \(e^{(n+1)+1}>2(n+1)+1\)
\(e^{n+2}>2n+3\)
Soit \(e^{n+2}>2n+1\)
On a donc bien

Pour la c je ne vois pas comment y parvenir

3)Demontrez que l'équation fn(x)=0 a une unique solution Un et que
n<Un<n+1

Je bloque principalement sur cette question, j'ai pensé au téhorème de la bijection mais je ne vois pas comment faire pour l'encadrement 

Voilà je me demande si quelqu'un pourrais m,aider à trouver le questions qui me bloque
Merci

[SoS-Math(2)]

bonjour Dorian,
votre première question est juste

Recalculer fn(n) vous avez une erreur de signe.

Votre démonstration par récurrence n'est pas correcte.
Supposons qu'il existe un entier k tel que exp(k+1)>2k+1 montrons alors que exp[(k+1)+1]>2(k+1)+1
commencez par exp[(k+1)+1]=exp(k+1)*exp(1) puis rappelez vous que exp(1)=e donc supérieur à 2

Pour trouver le signe de fn(n+1) il faut partir du résultat précédent :
e(n+1)>2n+1 donc 1/exp(n+1)<1/(2n+1) etc ....

A vous de terminer