problème sur les suite

[Invité]

bonjour,
j'ai un problème avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé:

on considère la table ci contre dite table de Pythagore. Voici la table:
1 2 3 n
2 4 6 2n
3 6 9 3n
n 2n 3n n²

Pour tout k entier naturel compris entre 1 et n, on note Sk la somme des nombres de la k-ième ligne et Pk la somme des nombres de la même couleur:
P1=1, P2=2+4+2, P3=3+6+9+6+3.

1)Démontrez que S1+S2+...+Sn=(S1)²
2.a)Vérifiez que Pk=2k(1+2+...+k)-k²
b)Déduisez-en que Pk=K^3
3)Déduisez des questions précédentes que:
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1))/2=(1+2+3+...+n)²

J'ai fait les deux premières questions mais la dernière j'y arrive pas. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

bonjour,

voilà une page ou vous pouvez découvrir l'aspect géométrique de la formule à démontrer.
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... e.htm#demo

L'étude de la décomposition du carré de côté 1+2+3+...+n dont l'aire est (1+2+3+..+n)², permet d'établir facilement la formule.
La décomposition du carré de côté 1+2 donne par exemple : 1+2x2²
celui de côté 1+2+3 donne 1+2x2²+3x3² etc
Par contre je ne vois pas bien comment relier ce raisonnement aux formules précédentes.
Essayez, et dites moi si vous y arrivez.

sosmaths

[Invité]

J'ai essayé de faire la question avec l'aide du lien mais je n'ai pas réussit à faire de lien avec les réponses d'avant et le problème c'est que sur le site ils supposent que l'égalité 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n )² est vrai mais moi je doit tout démontrer.
J'ai quand même réussi à trouver que 1^3+2^3+3^3+...+n^3=P1+P2+P3+...+Pn.
ensuite j'ai remplacé par l'expression de P et j'ai factorisé par 2 et j'en suis arrivé à 2[1+2(1+2)+3(1+2+3)+...+n(1+2+3+...+n)]-(1²+2²+3²+...+n²). Mais la je suis bloquer et je même en remplaçant 1+2+3+...+n par S1 cela ne m'a rien donner.J'espère que vous pourrez encore m'aider.

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Tout d'abord un petit rappel :"Merci de bien vouloir signer votre message par votre prénom".

En observant votre table de Pythagore, vous pouvez observer que :
P1+P2+...+Pn=S1+S2+...+Sn.
Donc à l'aide des résultats trouvés au question 1) et 2), vous pouvez conclure.

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

D'accord en fait c'était tout simple mais moi je pensait que je devais tout démontrer par des égalités. Merci pour les réponses et désolé de ne pas avoir signer avant.
Lucas

[sos-math(13)]

à bientôt sur sos-math.

[Yvan]

Bonjour.

Désolé d'upper le topic...
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice que j'ai à faire pour la rentrée.
Je n'arrive même pas au petit 1.
J'aimerais une explication brêve qui pourrait m'aider à comprendre comment procéder pour répondre à la question SVP

Merci,
Yvan

[SoS-Math(1)]

Bonjour Yvan,
Pouvez-vous reposer clairement votre question s'il vous plaît?
Et surtout dire ce que vous avez fait ou essayer de faire.
A bientôt.

[Yvan]

Merci d'avoir répondu.

En fait, je dois faire cet exercice pour la rentrée, je suis en 1ereS...
Mais les maths sont un de mes points faibles...
Et j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice.
J'essaye de répondre à la 1ere question pour l'instant, et je suis déja bloqué...
Voila ce que j'ai essayé :

J'ai vu que Sk = Sk-1 + k
J'ai S1 = S0 + 1
S2 = S1 + 2
S3 = S2 + 3
...
Sk = Sk-1 + k

J'ai ensuite additionner le tout...

S1 + S2 + S3 + ... + Sk = S0 + S1+ S2 + ... + Sk-1 + 1 + 2 + 3 + ... + 1

Mais je suis loin du résultat à obtenir : S1 + S2 + ... + Sn = ( S1)²

Je pense être totalement à côté de la réponse, mais je ne vois pas du tout comment faire...

Merci beaucoup pour votre aide.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Yvan,
Vous faîtes fausse route.
Reprenons:
\(S_1=1+2+\ldots~+n\)
\(S_2=2+4+\ldots~+2n\)
...
\(S_k=k+2k+\ldots~+kn\)
...
\(S_n=n+2n+\ldots~+n^2\)
Donc \(S_1+S_2+\ldots~+S_n=(1+2+\ldots~+n)+2(1+2+\ldots~+n)+\ldots~+k(1+2+\ldots~+n)+\ldots~+n(1+2+\ldots~+n)\).
Je vous laisse finir et on obtient maintenant facilement que~: \(S_1+S_2+\ldots~+S_n=(S_1)^2\).
A bientôt.

[Yvan]

Ah oui en effet, j'étais très mal parti ^^
Je n'avais même pas bien compris l'énoncé...
Merci de ton aide, c'était en réalité très simple !

[SoS-Math(7)]

A bientôt et bonnes fêtes !

[Yvan]

Merci, à vous aussi !
Je vais essayer de me débrouiller seul pour la suite ! :)

[Yvan]

Excusez-moi, je ne sais absolument pas comment éditer mon précédent message...
Pour la question 2a
J'aurais besoin de savoir si j'ai bon, et surtout, s'il faut détailler plus
Car je ne vois pas comment détailler plus, et cela me semble trop court
J'ai donc fait :

D'après l'énoncé et la table de Pythagore, on a :
Pk = k + ... + k² + ... + k
On mets en facteur 2k :
Pk = 2k ( 1 + ... + k ) - k²

Est-ce bon, et suffisant ?

Merci de ton aide, encore une fois !

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Yvan,
\(P_1=1\)
\(P_2=2\times~1+2\times~2+2\times~1\)
\(P_3=3\times~1+3\times~2+3\times~3+3\times~2+3\times~1\)
...
\(P_k=k\times~1+k\times~2+\dots~+k\times~k+k\times~(k-1)+\ldots~+k\times~2+k\times~1\)
Pouvez-vous finir maintenant?
A bientôt.