Encore des suites!!

[Clémence]

Bonjour,
voilà moi aussi j'ai DM sur les suites et je n'arrive pas à résoudre un exercice. Voici l'énoncé:
"Pour tout naurel p, on pose: Up=\(\frac{1}{(2p-1)(2p+1)}\)
1. Trouvez deux réels a et b tels que pour tout naturel p, Up=\(\frac{a}{(2p-1)}\)+\(\frac{b}{(2p+1)}\)
2. Pour tout naturel n, on pose: Sn= U0+U1+...+Un.
Exprimer Sn en fonction de n et trouvez la limite de la suie (Sn)"

Pour la question 1, j'ai pensé qu'il fallait identifier. Je suis arrivée à ce qu'il faut que a(2p+1)+b(2p-1)=1. Mais après je vois pas trop ce qu'il faut faire. a et b doivent être des réels mais peuvent-ils être en fonction de p?. Comme je ne savais pas, j'ai exprimé a en fonction de b et en posant b=3 par exemple, j'ai trouvé un couple solution:b=3 et a=\(\frac{-6p+4}{2p+1}\). Mais je ne pense pas que ces réponses conviennent bien.
Comment faudrait-il faire? Pourriez-vous m'aider? Merci.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut en effet identifier les coefficients de deux polynômes de variable p.
\(a(2p+1)+b(2p-1)=1\) équivaut à \((2a+2b)p+(a-b)=1\)
Ces deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux.
A bientôt.

[Clémence]

Après une identification laborieuse, je trouve a(2p+1)+b(2p-1)=p(2a+2b)+(a-b) avec a=p et b=1/2. Mais quand je calcule a(2p+1)+b(2p-1)ou p(2a+2b)+(a-b) avec ces valeurs de a et b je ne trouve pas 1!? Est-ce normal? Ai-je fait une erreur dans mon identification?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Oui, c'est laborieux.
\((2a+2b)p+(a-b)=0p+1\).
Donc, il faut résoudre le système: \(2a+2b=0\) et \(a-b=1\).
A bientôt.

[Clémence]

Avec ce système, c'est plus évident! Donc je trouve a =1/2 et b=-1/2. J'obtiens \(\frac{1/2}{2p-1}\)-\(\frac{1/2}{2p+1}\) ce qui est bien égal à \(\frac{1}{(2p-1)(2p+1)}\).
Pour la 2, quand j'essaie de faire la somme des premiers termes je me rends compte que certains s'annulent. Finalement, je trouve Sn=-\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1/2}{2n+1}\).
Je calcule la limite je trouve -1/2.
Est-ce cela?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Clémence,
Inutile de poster un message plusieurs fois: nous ne sommes pas derrière notre écran 24h/24. Il faut être patiente.
Ceci dit, vous avez très bien travaillé et je trouve comme vous pour \(S_n\) et pour la limite de \(S_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
A bientôt.

[Clémence]

Ok! et je vous prie de m'excuser mais en fait c'est qu'au bout d'un moment je ne savais plus si j'avais posté mon message. En tous les cas, merci pour votre patience vous m'avez bien aidée!!

[SoS-Math(7)]

A bientôt sur SOS Math