Equivalence

[Aurélie]

Bonjour,

J'ai un problème pour une question d'un exercice :

Démontrer que |z+1|² + |z|² = 1 équivaut à (z+1/2)( \(\bar{z+1/2}\))=1/4


Faut-il dévelloper et montrer que les z sont égaux ??

Si c'est le cas , pour la 2eme équation, je trouve que z² = 1/2 mais pour la 1ere, je ne vois pas quoi faire ....

Merci d'avance

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Vous pouvez développer les deux et montrer qu'elles sont équivalentes à \(2z\overline{z}+z+\overline{z}=0\)
Rappel: \(z\overline{z}=|z|^2\).
Bon courage.

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

Ce n'est pas une équation à résoudre mais une équivalence à montrer.

On peut le faire algébriquement ou géométriquement.

Si A est le point d'affixe -1, et M le point d'affixe z, alors |z|²=OM² et |z+1|²=AM²

Donc la première égalité équivaut à OM²+AM²=1 donc OM²+AM²=OA² ce qui équivaut à OAM est un triangle rectangle en M, ou M=O ou M=A, équivaut à M est sur le cercle de diamètre [OA].

La deuxième égalité équivaut à |z+1/2|²=1/4 donc à |z+1/2|=1/2 donc IM =1/2 si I désigne le point d'affixe -1/2 ........je te laisse finir , j'en ai trop dit.

sosmaths

[Aurélie]

Merci pour vos réponses .


J'avais essayé également de dévelloper mais ca ne fonctionne pas bien ...


Je ne comprends pas bien la notion \(\bar{z}\)
Je sais que cela vaut a - bi si z = a + bi mais ... je ne vois pas comment developper avec ca ..

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Par exemple \(|z+1|^2=(z+1)(\overline{z+1})=(z+1)(\overline{z}+1)\).
Bon courage.

[Aurélie]

Rebonsoir,


Merci beaucoup !!

j'ai finalement réussi.


Bonne soirée