suites

[Solène]

Bonjour

On considère les deux suites (\(u_{n}\)) et (\(v_{n}\)) définies par:
\(u_{0}\)= 1 et \(v_{0}\)= 2

Pour tout entier n, \(u_{n+1}\)= \(\sqrt{u_{n}v_{n}}\) et \(v_{n+1}\)= \(\frac{1}{2}\)(\(u_{n}+v_{n}\))

(Pour tout entier n, \(u_{n+1}\) est la suite géométrique de \(u_{n}\) et \(v_{n}\) alors que \(v_{n+1}\) est la moyenne arithmétique de \(u_{n}\) et \(v_{n}\))

1) Démontrer que : pour tout entier n, 0<\(u_{n}\)<\(v_{n}\)

2) Démontrer que ces deux suites convergent et admettent la même limite.
(Leur limite commune est appelée la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 2)

Je bloque dès la première question. Je n'arrive pas à montrer par récurrence.

Merci de votre aide.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Solène,
Je vous suggère juste pour vous aider d'essayer de développer \(\left(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2\).
Bon courage.

[Solène]

Merci beaucoup !

[Solène]

Bonsoir

Je n'arrive pas à montrer pour la question 2 que \(\lim_{n\to +\infty}(u_{n}-v_{n})\)= 0 afin de prouver que \(u_{n}\) et \(v_{n}\) sont adjacentes.

Voici ce que j'ai fait :

On suppose que \(v_{n+1}\)<\(v_{n}\)

\(v_{n+1}\)<\(v_{n}\)
<=> \(\frac{1}{2}(u_{n}+v_{n})<v_{n}\)
<=>\(\frac{1}{2}u_{n}\)+\(\frac{1}{2}v_{n}<v_{n}\)
<=>\(\frac{1}{2}u_{n}<\frac{1}{2}v_{n}\) vrai

Donc \((v_{n})\) est décroissante

On suppose que \(u_{n+1}\)>\(u_{n}\)

\(u_{n+1}\)>\(u_{n}\)
<=> \(\sqrt{u_{n}v_{n}}>u_{n}\)
<=> \(u_{n}v_{n}>u_{n}^2\)
<=> \(v_{n}>u_{n}\) vrai

Donc \((u_{n})\) est croissante

On sait que \(u_{0}\leq\)\(u_{n}<v_{n}\)\(\leq\)\(v_{0}\)
\((u_{n})\) est majorée et \((v_{n})\) est minorée

Merci de votre aide

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
vous avez démontré que Un est croissante et Vn décroissante.
ce serait mieux de commencer votre démarche par le calcul de U(n+1) - Un et de montrer que cette différence est positive
De même calculez V(n+1)-Vn et montrez que c'est négatif.

Démontrer que la suite Un-Vn tend vers 0 n'est pas évident
Vous avez écrit

Donc (Un) est croissante
Donc Vn est décroissante
(Un) est majorée et (Vn) est minorée

Vous pouvez en déduire que les suites ont des limites notées l et l'
et avec les relations\(u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n}\)et \(v_{n+1}= \frac{u_n+v_n}{2}\) vous pouvez en déduire deux relations entre l et l'
Bon courage pour continuer

[Solène]

Bonsoir

Soit \(\lim_{n\to +\infty}u_n=l\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_n=l'\)

Donc \(\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\sqrt{ll'}\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_{n+1}=\frac{l+l'}{2}\)

Je ne sais pas trop comment poursuivre. Il faut calculer \(\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}-v_{n+1}\) ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Remarque bien que, si :

\(\lim_{n\to +\infty}u_n=l\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_n=l&#39\);

alors tu as aussi :
\(\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=l\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_{n+1}=l&#39\)
car \(n\to +\infty\) équivaut à \(n+1\to +\infty\).

Courage, tu arrives au bout.

[Solène]

Bonsoir

\(\lim_{n\to +\infty}v_{n+1}=l'\)

\(\lim_{n\to +\infty}\frac{u_{n}+v_{n}}{2}=\frac{l+l'}{2}\)

\(\frac{l+l'}{2}\)=l'
<=> l+l'=2l'
<=> l=l'

Merci !

[SoS-Math(2)]

Bravo, votre raisonnement est bon
A bientôt