Exercice sur une figure ( Thalès )

[K.]

Bonjour SOS Maths !
J'ai un très gros problème pour faire cette exercice.

Exercice
Dans la figure ci-contre, on sait que K est le milieux des segments [AC] et [BD], E est le symétrique du point K par rapport au point A, G est le milieu de [AB], F ϵ [DA), H ϵ [BC), les droites (GH) et (DC) se coupent en I.

On donne aussi : AF = BH = 2 cm .

1)Montrer que BC = 6cm.
J'ai pensé utiliser le thm. de Thalès mais nous n'avons pas assez de longueur.

2)En utilisant le fait que G est le milieux de [AB], montrer que C est le milieu de [ID].

Je n'ai trouvé aucune des deux réponses.

Je vous en remercie.
A bientôt !

[SoS-Math(8)]

Bonjour ... ( tu peux mettre ton prénom s'il te plait.),



La figure est complexe ou un peu chargée.
Que peux-tu dire du quadrilatère ABCD: Il y a un certain nombre de codage "autour" de K.
Ensuite je te conseille d'isoler le triangle BEC.
Il y a effectivement du "Thalès" que l'on peut faire dans ce triangle...

SoS-Math(8)

[Kallie]

Excusez moi pour le prénom ! ( c'est une erreur de sélection )

On sait que dans le quadrilatère ABCD, K est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Travaillons avec le triangle EBC.
On sait que les points E,F,B et E, A,C sont alignés (sur deux droites sécantes ) et (FA) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
EF/EB = EA/EC = FA/ BC.

Après je ne sais plus comment faire car nous n'avons pas de longueurs.

Merci !

[SoS-Math(8)]

bonjour Kallie ,

Ton raisonnement pour le parallélogramme est correct.

Pour BC...
Regarde combien de fois le segment [EC] contient-il le segment [EA]...Tu peux donc en déduire le rapport EC/EA et donc en déduire celui de BC/FA...

Tout est observation !

[Kallie]

Bonsoir !

On sait que les points E, F, B et E, A, C sont alignés ( sur deux droites sécantes ) et (FA) // (BC).
D'après le théorème de Thalès :
EF/EB = EA/EC = FA/BC
EF/EB = EA / 3*EA = 2 / BC
BC = 3*2/1 = 6 [ J'ai supprimé les deux EA. ]

Est-ce correct ?

pour la 2) je n'y arrive toujours pas.

[sos-math(19)]

Bonsoir Kallie,

Ton calcul de BC est maintenant correct.

Pour la deuxième question, utilise les triangles HBG et HCI, pour comparer BG et CI, ce qui te permettras de comparer CI à AB, donc à CD.

Bonne continuation.

sos-math

[Kallie]

Bonsoir.

On sait que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Or les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur.
Donc AB = CD.

On sait que G le milieu de [AB] et que AB = CD.
Donc comme AB = 2BG alors CD = 2GB.

On sait que les points B, H, C et G, H, I sont alignées sur deux droites sécantes et (BG) // (IC).
D'après le théorème de Thalès :
BH/HC = GH/HI = BG/IC
2/4 = GH/HI = BG/IC

\frac{2}{4} = \frac{BG}{IC}
\frac{1}{2} = \frac{BG}{IC}

( faire un produit en croix pour comparer les deux quotients)

IC * 1 = BG *2
IC = 2 BG

Donc AB = CI.

On sait que ( dans le parallélogramme ABCD ) les côtés AB et DC sont égaux (et parallèles ) et AB = CI.
Donc on en conclut que DC = CI ( par transitivité ).

Ainsi, C est le milieu du segment [ID].

C'est bien cela ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Kallie,

Oui c'est bien cela, mais il faut ordonner un peu ta rédaction pour la clarifier et la raccourcir.

Bonne continuation.

sos-math

[Kallie]

Je vous remercie de m'avoir aider.
A bientôt !