le nombre d'or

[tharsie]

Bonjour,
Je suis en seconde, et j'ai un exercice de mathématique que ne parviens pas faire.Pouvez-vous m'aider?

Voici l'énoncer:

Le nombre d'or est le nombre positif égal à la somme de son inverse et de 1.
On le désigneen général par la lettre grecque Φ (qui se nomme phi).

1. Démontrer que le nombre d'or vérifie la relation suivante: (Φ-1/2)²-5/4=0

2.Résoudre l'équation obtenue, et en déduire la valeur du nombre d'or. On donnera d'abord sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie au millième près.



Besoin d'aide! Merci d'avance!

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
D'après ce que vous dites, on a \(\Phi=\frac{1}{\Phi}+1\).
Si on multiplie par \(\Phi\) les deux membres de l'équation, on obtient \(\Phi^2=1+\Phi\).
Il ne reste plus alors qu'à transposer dans un même membre puis de vérifier que c'est la même équation que \(\left(\Phi-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0\).
Pour résoudre l'équation, il faut factoriser le premier membre en utilisant la troisième identité remarquable, puis résoudre une équation-produit (comme en troisième).
Bon courage.

[tharsie]

J'ai résolu l'équation et :

(Φ-1/2)²-5/4
(Φ-1/2)²-rac5/4
Φ²-Φ+1/4=rac5/2
et après je suis bloqué ..

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
\(\left(\Phi-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0\)
équivaut à \(\left(\Phi-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)
équivaut à \([(\Phi-\frac{1}{2})-\frac{\sqrt{5}}{2}][(\Phi-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{5}}{2}]=0\).
Il n'y a plus qu'à résoudre l'équation produit.
Bon courage.

[tharsie]

Merci beaucoup.
voici ce que j'ai fais:
soit [(Φ-1/2)-√5/2]=0 ou [(Φ -1/2)+√5/2]=0
> Φ-1/2=√5/2 ou > Φ-1/2=-√5/2
>Φ=√5/2+1/2 ou >Φ=-√5/2+1/2

L'équation a deux solutions : -√5/2+1/2 et √5/2+1/2

C'est bien cela?

[LUCIE]

mais je ne comprend pas comment montrer que le nombre d'or vérifie la relation suivante: (Φ-1/2)²-5/4=0

[laura]

je ne comprend pas comment déduire la valeur du nombre d'or après pouvez vous m'aideZ ??

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Oui pour le message de 17h35, c'est bien cela.
Bon courage.

[tharsiny]

d'accord merci beaucoup !

[tharsie]

Merci beaucoup.
Mais je ne parviens pas à trouver la valeur Φ à partir de ces deux solutions.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Je réponds au message de 17h54.
Il faut relire le message de SoS-Maths(1) de 17h17.
Bon courage.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Je réponds au message de 18h08.
Vous avez trouvé deux solutions.
Relisez votre énoncé dans lequel on vous signifie une information sur le nombre d'or.
Bon courage.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
l'une de vos solutions est un nombre positif et l'autre un nombre négatif!
Bon courage.

[tharsie]

Le nombre d'or est le nombre positif égale à la somme de son inverse et de 1.
déja j'exclut la solution -√5/2+1/2 car elle est négative.
On doit déduire alors la valeur de Φ à partir de √5/2+1/2.
Je ne comprend pas.

[tharsiny]

oui j'ai compris cela mais ensuite je dois donner la valeur de phi . et je ne la trouve pas . comment faire