Ts exponentielle

[Julie]

Merci de votre aide... seule les limites j'ai réussi à faire...
Exercice 1:
On considère la fonction f définie sur R f(x)= xe°/ e°-1 si x different de 0 et f(0)=1 (° = x)
On note c la representation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal (o;i;j)
1,a) déterminer la limite de f en -infini.
b) etablir que pour tout nombre réel x non nul on a, f(x)= x(1+1/e°-1) (°= x)
En déduire la limite de f en +infini.
2) Donner sans la démontrer la limite suivente lim x->0 e°-1/x (°= x)
Montrer que le fonction f est continu en O
3,a) Montrer que pour tout réel x, on e°>(supérieur ou égale) x+1 (°= x)
et que l'égalité n'a lieu que pour x=0
b) calculer la dérivée f' de la fonction f et determiner la fonction g telle que, pour tout nombre réeel x non nul ont ait f'(x)= e° g(x)/(e°-1)² (°= x)
c) en déduire le tableau de variation de la fonction f
4) soient x un nombre réel non nul et les points M(x,f(x) ) et M' (-x, f(-x) de la courbe C.
a) Etablir que f(-x)= x/e°-1 (°= x) puis déterminer le coeef directeur de la droite MM'.
b) On admet que la fonction f est dérivable en O. Que suggère alors le résultat précédent?

Exercice 2:
1) Dans cette question il est demandé au candidat d'exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant: la fonction x-> e° (°= x) est l'unique fonction φ dérivable sur R telle que φ'= φ et φ(o)=1
Soit a un réel donné.
a) Montrer que la fonction f définie sur R par f(x)= e° (°=ax) est solution de l'équation y'=ay
b) Soit g une fonction solution y'=ay.
Soit h la fonction sur R par h(x)=g(x)e° (°=-ax). Montrer que la fonction h est constante.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y'=ay
é,a) on considère l'équation différentielle (E) y'=2y+cosx
a) déterminer 2 nombres réels a et b tels que la fonction fo définie sur R par fo(x)= a cosx + b sinx soit une solution de (E)
b) résoudre l'équation differentiele (Eo) y'=2y
c) Montrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si f-fo est solution de (Eo).
d) en déduire les solutions de (E)
e) Déterminer la solution k de (E) vérifiant k(Pie/2)=0

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Julie

J'aimerai que tu me dises exactement ce que tu as su faire.
Je commence à la question 2 : La fonction est continue si la limite quand x tend vers 0 de f(x) est égale à f(0) ; (1 ,pour cette fonction). Ce qui est facile puisque le nombre dérivé en 0 de exp(x) est égal à 1 et est aussi égal à la limite quand x tend vers 0 de (exp(x) -exp(0))/x .

Question 3)
a) Etudie la fonction : exp(x) - (x + 1) , calcule g(0) et vérifie que g est croissante pour x > 0 conclus.
b) Détermine f'(x) et met exp(x)/(exp(x) -1)² en facteur ce qui te donne g(x).
c) La dérivée est donc du signe de g(x) ; tu peux t'aider de la question 3a).
4a) Remplace x par -x dans la formule de f et multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par exp(x), conclus.

Bonne suite d'exercice.
On verra ensuite pour l'exercice suivant.

[meg]

Bonjour, en ce qui me concerne j'ai un probleme avec la question de 3)b; je n'arrive pas à calculer la dérivé de f'(x). Est ce que vous pourriez m'aider merci d'avance.

[sos-math(19)]

Bonsoir Meg,

Dis-nous d'abord ce que tu as fait. Ensuite, nous t'aiderons.

A bientôt.

sos-math