DM Nombres Complexes

[Pierre]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour le début dem on DM car j'ai un peu de mal. Voici le problème:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; u; v ); on prend comme unité graphique 1cm.
On considère l'équation (E):
z^3 - 2(racine de 3 + i)z² + 4(1+i racine de 3)z - 8i = 0

1) a)Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure unique que l'on calculera.
b)Déterminer les réels a et b tels que
z^3 - 2(racine de 3 + i)z² + 4(1+i racine de 3)z - 8i = (z-2i)(z²+az+b)
c)Résoudre (E)


J'aimerais que vous m'aidiez à partir de la question 1)b)? J'ai dévelloppé '(z-2i)(z²+az+b) ce qui me donne à la fin :
z^3 + (a-2i)z² + (b-a)z - b
Je voudrais d'abord savoir si jusque là c'est bon et ensuite m'aider pour trouvez a et b en m'explicant svp car je ne sais pas si (a-2i)z² il faut le remplacer par -2(racine de 3 + i) parce que avec le i je bloque.
Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,


Il ya une erreur dans l'expression suivante , refais le calcul.

z^3 + (a-2i)z² + (b-a)z - b

Ensuite tu égalises les coefficients de l'expression corrigée avec ceux de :

z^3 - 2(racine de 3 + i)z² + 4(1+i racine de 3)z - 8i

sosmaths

[Piere]

oui j'ai étais trop vite, sa donne donc :
z^3 + (a-2i)z² + (b-2ia)z -2ib

je comprend pas trop bien ce que vous dîtes, a-2i = -2 et b-2i = 4, c'est ça ?

[Pierre]

Oui je me suis trompé, j'ai étais trop vite, sa donne donc :
z^3 + (a-2i)z² + (b-2ia)z - 2ib

Mais j'ai du mal à comprendre ce que vous dîtes, a-2i = -2 et b-2ia = 4 , c'est ça ?

[SoS-Math(4)]

On a :

a-2i=-2(rac(3)+i)

b-2ia=4(1+irac(3))

-2ib =-8i

Il faut résoudre ce système pour trouver a et b.

sosmaths

[Pierre]

a - 2i = -2(rac 3 + i) <=> a - 2i = -2rac3 - 2i <=> a = -2rac 3 ? jpensse que c'est ça
pour b j'ai un peu de mal avec les racine,
b-2i-2rac3 = 4 + 4i rac3 <=> b= 4 + 4i rac3 + 2rac3 / 2i <=> b=
désolé mais c'est que j'ai beaucoup de mal en math

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

a-2i=-2(rac(3)+i)

b-2ia=4(1+irac(3))

-2ib =-8i

Oui pour le calcul de a.

Le calcul de b est plus simple à partir de la troisième équation.

Il te suffit alors de constater que ces valeurs de a et b vérifient bien la deuxième équation.

Bonne continuation.

sos-math

[Pierre]

oui pour b j'ai trouvé 4i
Merci de votre aide, j'ai juste une dernière question ,pouvez-vous me donner un indice pour commencer la question c svp

[sos-math(19)]

Bonjour Pierre,

b n'est pas égal à 4i, mais à 4 (tu simplifies par i les deux membres de l'équation).

N'oublie pas de vérifier la deuxième équation avec les valeurs trouvées pour a et b.

Avec le résultat de la question 1b, l'équation (E) se transforme en une équation-produit. Vois-tu ce que je veux dire ?

Bonne continuation.

sos-math

[Pierre]

Je pensse que oui, il faut donc utiliser l'equation (z-2i)(z²+az+b) ?
en remplaçant sa fait (z-2i)(z²-2racine de 3 z + 4)
puis on ressoud cette equation?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Pierre,

Oui maintenant il faut résoudre cette équation ....

Rappel : \(A\times.B=0\) équivaut à A = 0 ou B = 0.

Bon courage,
soSMath.

[Pierre]

Donc sa nous donne deux équations :
z-2i = 0 <=> z = 2i
z²-2racine de 3 z + 4 = 0 ==> avec delta sa donne -4, donc pas de solution

donc la seul solution de cette equation est 2i

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Maintenant que tu étudies les complexes, tu dois savoir que toute équation du second degré à coefficients réels admet deux racines complexes conjuguées lorsque son discriminant est négatif.

A toi de les calculer.

sos-math

[Pierre]

D'accord
merci beaucoup de m'avoir accorder votre temps pour m'aidez, sa m'a vraiment aidé à mieux comprendre.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Pierre.

SoSMath.