Fonction

[Sofia19]

Bonjour!Merci d'avance pour votre aide.

Soit f la fonction définie sur R par:
f(x)=x^4(2+cos(1/x^2)) si x différent de 0 et f(0)=0

1)Montrer que f est continue sur R
2)Montrer que f esr dérivable sur R étoile et déterminer f'(x) pour tout réel x différent de 0.
3)Montrer que f est dérivable en 0.
4)Etudier la continuité de f' sur R
Je pense avoir juste a la question 1et3, j'ai trouvé la dérivée f', par contre j'ai du mal pour la premiére partie de la 2 et la 4.
Merci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Sophia,

Pour le 1 : tu as du calculer la limite en 0 de f(x) et trouver f(0)
Pour le 2 : tu as une somme et une composée de fonctions dérivables sur \(R^*\) donc conclus pour la dérivabilité de f. Détermine alors f ' (x).
Pour le 3 : Tu as la dérivée pour x différent de 0, cherche sa limite quand x tend vers 0 et calcule le nombre dérivé en 0 : f '(0) à l'aide de la limite quand h tend vers 0 de (f(0+h)-f(0))/h et vérifie que tu as les deux mêmes valeurs pour conclure.
Pour le 4 procède comme à la question 1 avec la formule de f ' : tu connais f '(0) et f ' cherche la limite de f ' en 0 et conclus suivant que tu trouve f '(0) ou non.

Bonne continuation

[Sofia19]

POur la 1 j'ai cherché la limite de f(x) en 0 et pas le théoréme des gendarmes j'ai trouvé 0. et f(o)=0 donc la fonction est continue sur R.somme et une composée de fonctions dérivables sur R étoile donc la fonction est dérivable sur R étoile. La dérivée j'ai trouve f'(x)=4x^3(2+cos(1/x²))+2xsin(1/x²).Pour la 3, j'ai appliqué la formule lim f(x)-f(a)/(x-a) quand x tend vers 0 et je trouve 0 et sachant que f'(0)=0 elle est dérivable.
Pour la 4 j'ai pas tout compris.
Merci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Le début me semble correct, pour la 4 tu sais que le nombre dérivé en un point a est la limite quand h tend vers 0 du taux de variation (f(a+h) - f(a))/h.
Donc le nombre dérivé en 0 ets la limite en 0 de [(0+h)^4(2+cos(1/(0+h)^2))-f(0)]/h ; calcule cette limite
Utilise la formule de la dérivée que tu as trouvée, et calcule la limite de cette fonction quand x tend vers 0.
Observe les deux limites et conclus pour la continuité de f ' comme à la question 1.

Tu y es presque, bon courage pour la fin

[Sofia19]

Bonsoir. Je c'est pas si c'est bon, mais j'ai directement étudier les limites de f' grace au théoréme des gendarmes et je trouve que sa limite est o et on sait de la question 3 que f'(0)=0 donc f' continue sur R. Es ce bon?

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

Ton raisonnement et ton résultat sont bons.

sosmaths