Fonction sin et cos

[Yukiko]

Bonjour tout le monde!

Voilà un exercice que j'ai à faire mais où j'ai vraiment beaucoup de mal :

Soit la fonction définie du R par f(x) = 3sin(x) - 2sin^3(x) (2 sin puissance 3 si vous n'avez pas compris)

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonale (o,i,j)

1) Démontrer que pour tout x; f(-x) = - f(x). Que peut-on en déduite pour C ?

2) Démontrer que f est périodique de période 2pi

3) Étudier les variations de f sur [0 ; pi]

4) Construire la courbe C sur [0 ; pi]. Puis sur R


Je vous remercie d'avance de m'expliquer comment faire!

Parce que déjà pour la 1ère question j'ai

f(-x) = 3sin (-x) - 2sin^3 (-x)

et -f (x) = -3sin (x) + 2 sin^3 (x)

mais bon je vois pas en quoi c'est égale sauf si le moins du x on peut le passer devant les sin?

Bref la question 2 je sais pas comment on démontre ce genre de chose et sinon la question 3 ben je pense pouvoir le faire xD puisqu'il suffit juste de calculer la dérivée de f( x) non ? Et pour la dérivée je trouve f'(x) = 3 cos(x) - 6 cos²(x) mais ça se trouve c'est pas du tout ça!

Merci beaucoup!

[sos-math(19)]

Bonsoir,

La fonction sinus est une fonction de référence.
Tu dois connaître toutes les propriétés de cette fonction, sinon il faut réviser.

1. Propriété du sinus sur des angles opposés ou propriété de parité.

2. Propriété de périodicité de la fonction sinus.

3. Ton calcul de dérivée est faux.
Revois le théorème sur la dérivation d'une fonction composée.
Quelle est la dérivée de \(u^3\) (u est une fonction de x) ?

Bon courage.

sos-math

[Yukiko]

Bonsoir,

je te remercie pour ta réponse. Mais nous n'avons pas appris les propriétés de cette fonction.

Alors voilà ce que j'ai pour le moment :

Alors pour la question 1, j'ai quand même raison, non ?

f (-x) = 3sin (-x) - 2sin^3 (-x) soit f(-x) = -3 sin (x) + 2 sin^3(x) donc f(-x) = - f(x) soit la fonction sinus est impaire.

Pour la question 2, je ne sais pas du tout comment on fait ce genre de chose.

La question 3, comme dérivée j'ai f'(x) = 3cosx(1-2sin²x) mais pour le tableau de signe, je sais pas.

[sos-math(19)]

Bonsoir,

f (-x) = 3sin (-x) - 2sin^3 (-x) soit f(-x) = -3 sin (x) + 2 sin^3(x) donc f(-x) = - f(x) soit la fonction sinus est impaire.

Oui, tu as raison, mais il faut donner tous les détails de calcul. Ici, il manque des explications dans le passage de - 2sin^3 (-x) à + 2 sin^3(x). En fait, on passe par sin(-x) = -sin(x), donc sin^3(-x) = [sin(-x)]^3 = [-sin(x)]^3 = -sin^3(x). Je te laisse mettre en forme l'ensemble du calcul.

Pour la question 2, je ne sais pas du tout comment on fait ce genre de chose.

La fonction sinus est périodique de période 2pi, ce qui se traduit par sin(x+2pi) = sin(x) pour tout réel x.
Tu utilises cette propriété pour montrer que f(x+2pi) = f(x), ce qui prouvera que f est périodique de période 2pi.

La question 3, comme dérivée j'ai f'(x) = 3cosx(1-2sin²x) mais pour le tableau de signe, je sais pas.

Pousse complètement la factorisation en factorisant (1-2sin²x), tu étudieras alors le signe de chacun des facteurs sur [0;pi], puis tu dresseras un tableau de signes pour obtenir le signe de la dérivée sur [0;pi].

Bon courage.

sos-math

[Yukiko]

Merci !!

Il me reste donc juste le tableau de signe où je ne suis pas sûre. J'obtiens :

1- (2sinx)² : + de 0 à pi/4 - de pi/4 à pi/2 - de pi/2 à 3pi/4 et + de 3pi/4 à pi

cos : - de 0 à pi/4 - de pi/4 à pi/2 + de pi/4 à 3pi/4 et + de 3pi/4 à pi

D'où f'(x) : - de 0 à pi/4 + de pi/4 à pi/2 - de pi/2 à 3pi/4 et + entre 3pi/4 et pi

[SoS-Math(8)]

Bonjour Yukiko,

Il me semble qu'il y a quelques erreurs:
Cos x est positif ou nul sur [0;pi]

Ensuite avez-vous factorisé 1-2sin²x comme cela avez été proposé par mon collègue ?

Etude de signes à reprendre...

SoS-Math(8)

[sos-math(19)]

Bonsoir Yukiko,

1- (2sinx)² : + de 0 à pi/4 - de pi/4 à pi/2 - de pi/2 à 3pi/4 et + de 3pi/4 à pi

Le résultat est correct, mais non justifié.
Factorise comme je te l'ai demandé, ainsi tu pourras justifier en utilisant les propriétés de la fonction sinus qui est une fonction de référence.

cos : - de 0 à pi/4 - de pi/4 à pi/2 + de pi/4 à 3pi/4 et + de 3pi/4 à pi

La fonction cosinus est une fonction de référence. Ce résultat est faux.
Avec ta calculatrice trace la fonction cosinus sur [0;pi] : tu trouveras ton erreur.

On obtient ensuite le signe de f'(x) en combinant les résultats dans un tableau de signes.

Bonne continuation.

sos-math