Suite d'exercie exponnentiel

[Didoof]

Bonjour à l'équipe de SOS-Maths. Je requiert votre aide pour l'exercice grand III joint avec ce message.

III Question 1): il faut démontrer par réccurence que 0\(\leq\)un\(\leq\)un+1\(\leq\)a

Pour l'initialisation, pas de problème: u0=0 et u1= g(u0)
= g(0)
= 1+0/1+exp(0)
= 1/2
Or, a appartient à l'intervalle [1/2;1] donc a\(\geq\)1/2
et 0\(\leq\)u0\(\leq\)u1\(\leq\)a

Ensuite, j'ai plus de dificultés pour l'héréditée: on suppose que 0\(\leq\)un\(\leq\)un+1\(\leq\)a pour un certain naturel n et
0\(\leq\)g(un)\(\leq\)g(un+1)\(\leq\)a Or, on sait d'après la question II 3. que g est croissante sur [0;a]
donc 0\(\leq\)un+1\(\leq\)un+2\(\leq\)a
Puis on conclue que la propriété est initialisée et héréditaire donc vraie pour tout naturel n.
Mais je ne sait pas si cette héréditée est vraie


III Question 2) Il faut déduire de la question précédente que un est convergente.

Alors ici j'ai aussi un peu de mal. Je pense qu'il faut dire que un+1= g(un) or, g est croissante sur [0;a] donc un est croissante et majorée: elle est donc convergente mais je ne suis pas sûr de ce raisonnement.

III Question 3) Il faut justifier l'égalité g(l) =l, l étant la limite de un.
Là, je ne sait pas vraiment comment répondre. On sait que a est l'unique réel vérifiant g(a)= a donc, il semblerait que l=a mais encore une fois, je n'en suis absolument pas sûr.

Je remercie d'avance l'équipe de SOS-Math pour leur soutien.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Si, l'héréditée est bien montrée sauf que la croissance de g , permet d'écrire d'après l'hypothèse de récurrence que :

g(0)<=g(un)<=g(u(n+1))<=g(a) {et non pas a} or g(a)=a et g(0)=0,5

donc 0,5<=u(n+1)<=u(n+2)<=a

ce qui prouve l'héréditée puisque 0<0,5.

2) la suite est juste; u est croissante et majorée par a, d'après la question précédente.
3)on a u(n+1)=g(u(n)) donc lim u(n+1)= lim g(u(n))
le côté gauche de l'égalité a pour limite l, et le côté droit apour limite g(l) car g est continue. Donc l=g(l), donc l=a.

sosmaths

[Didoof]

Merci beaucoup, grâce à vous j'ai pu terminer mon exercice.
Avec mes remerciements,
Didoof.

[SoS-Math(4)]

pas de quoi, à bientôt.

sosmaths