Division euclidienne

[JP]

Bonjour tout le monde, voilà j'ai un problème avec mon exercice de Maths Spé.

1/ a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le reste r est supérieur ou égale au quotient q. Prouver que si l'on divise a par b+1, on obtient le même quotient.


2/ a et b sont deux entiers naturels tels que 0 < b² < a. On note c et r respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.

a/ Ecrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
b/ Démontrez que bc.
c/ Démontrez que dans la division euclidienne de a par c, le quotient est b et le reste est inchangé (c'est-à-dire r).
d/ Est-ce encore vrai si a < b².



Pour le 1/ j'ai écris:

a = b x q +r
et a = (b+1) x q + r
= b x q + ( q+r )

mais après ?

et le 2/ j'arrive vraiment pas si vous pouviez m'aider. Svp

[SoS-Math(11)]

Bonsoir JP

Pour le 1 ce que tu as écrit ne sert pas, utilise le faitr que si r > q alors r = q + r' avec r' < r
Tu as alors a = bq + q + r' conclus.

Pour le 2)
a) Les relations sont celles que tu as écrites pour le 1 avec en plus 0 < b² < ...
Pour le b) La question "démontre que bc." n'a pas de sens.
Pour le c) et le d) il faut utiliser le b) donc précise ton énoncé pour que je puisse t'aider.

[JP]

Excuse moi c'est b<c

[JP]

Excuse moi c'est b<c (inférieur ou egal)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tu as r < b (strictement) donc b² < bc + r < bc + b (strictement) compare alors b² et b(c + 1) ; déduis-en la comparaison entre b et c.

Pour la division par c le reste doit être inférieur à c, or r < b d'après la division par b, et b < c conclus.

pour la dernière question cherche un contre-exemple.
Bonne continuation

[JP]

J'ai marqué pour le 2/a/

a = bc +r c'est tout ?

[JP]

Pour la 2/b/ j'ai compris où tu me guide mais comment je fais pour comparer b² et c(b+1) ?

Je fais b² < c(b+1) je passe tout du coté gauche et je regarde quand c'est > 0 ?

[SoS-Math(9)]

Non c'est incomplet ...

Tu as en effet a = bc + r mais il manque ... le reste est strictement inférieur au diviseur !

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Il te manque r < b

tu as r < b soit r + bc < b + bc or a = bc + r
donc a < b + bc soit a < b(1+c)

Mais b² < a donc b² < a < b(1+c) donc b² < b(1+c) soit b < 1+c
donc \(b\leq{c}\)

Pour le 2c) il faut prouver que a = c * b + r avec r < b (reste < diviseur).

Bon courage,
SoSMath.

[JP]

Bonjour, je ne trouve pas pour la 2/c/ :(.

[JP]

Je ne trouve pas pour les deux dernieres :( . Svp pouvez vous m'aider =$. C'est pour demain :'(

[SoS-Math(9)]

Bonsoir JP,

Pour la question 2c), tu sais que : a = b*c + r
Donc le quotient de la division de par c sera b et le reste r, si le reste est plus petit que le diviseur, soit r < c.
Donc il faut prouver que r < c ... pour cela utilise les résultats des questions 2a) et 2b).

Pour la question 2d), trouve un exemple qui ne marche pas ...

Bon courage,
SoSMath.

[edc]

Je ne comprends pas comment on passe de b<c+1 a b<ou=c ?

[SoS-Math(4)]

bonjour ,

b et c sont des entiers.

sosmaths