Exponentielle

[Lupus]

Bonjour,

Pour un entier naturel n fixé, on définit la fonction fn(x)=(x^(n+1))/e^x sur I=]0;+inf[

Questions:
1-Etudier les varations de f sur I
2-Montrer que f admet un maximum a determiner
3-En déduire que pour tout x€I, 0<(x^n)/(e^x)<(1/x).((n+1)^(n+1))/e^(n+1)
4-En déduire lim (x->+inf)x^n/e^x et lim (x->+inf) e^x/x^n et lim (x->-inf) x^n.e^x pour tout n€N

Réponses:
1- Je vois à la calcumatrice qu'elle est croissante puis décroissante. Il me faut calculer sa dérivée mais je n'y arrive pas.
2- Je ne vois pas comment faut faire
3- Idem
4- Je trouvre lim (x->+inf)x^n/e^x=0, lim (x->+inf) e^x/x^n=+inf, et lim (x->-inf) x^n.e^x=0

Pouvez-vous m'aider svp.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lupus,

Question 1 : pour trouver les variations de fn il faut en effet déterminer la dérivée fn' puis trouver son signe ... la fonction fn est de la forme \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x) = x^{n+1}\) et \(v(x)=e^x\). A toi de dérivée ...

Question 2 : il y a un lien avec la question 1 (va voir ton cours de 1ère S, c'est un théorème)

Question 3 : il faut utiliser le maximum de la question 2 !

La réponse à la question 4 semble juste.

bon courage,
SoSMath.

[Lupus]

1- Je trouve f'(x)=((n+1)x^n.e^x-x^n+1.e^x)/e^2x . Alors e^2x est toujours positif donc il faut étudier le signe de ((n+1)x^n.e^x-x^n+1.e^x) mais la je bloque.

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Factorise ton numérateur par \(x^{n}e^x\) et la réponse sera plus évidente ...

SoSMath.

[Lupus]

je trouve ((x^n.e^x)(n+1-x))/e^2x

[Lupus]

je trouve que f'n(x)>o quand x<n+1

[SoS-Math(9)]

Tes réponses sont justes !

Bonne continuation.
SoSMath.

[Lupus]

Donc le majorant est n+1. C'est sa ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

D'abord tu devrais simplifier l'expression de la dérivée, en divisant numérateur et dénominateur par e^x.

Le maximum de la fonction est pour x=n+1 et ce maximum est f(n+1).

sosmath

[Lupus]

Merci beaucoup, on a donc f'(x)=(x^n.(n+1-x))/e^x.
Mais pour la 3- je ne vois pas du tout.

[SoS-Math(4)]

calcule le maximum f(n+1) et tu verras.

sosmaths