dérivation

[marielle]

Bonjour. Je cherche à démontrer que x * racine carré (4-x²) est dérivable sur l'intervalle [0;2]. Je justifie d'abord que X=4-x² est dérivable, puis racine carré de X ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Marielle

Cela ne convient que pour x dans l'intervalle ]0 ; 2[, mais dans cet intervalle ouvert on a la fonction dérivée qui existe et que tu peux calculer.
Il faut regarder ce qui se passe en 0 et en 2.
Pour cela il faut reprendre la définition du nombre dérivé et chercher s'il y a une limite lorsque h tend vers 0 de (f(0+h)-f(0))/h puis de (f(2+h)-f(2))/h.
Je te laisse faire les calculs et si besoin je t'aiderai à détailler.

[Marielle]

Bonjour. Je trouve quand h tend vers 0 en 0 et en 2, la même limite qui est 0. Je conclue qu'on a la même limite aux bornes de cet intervalle [o;2]donc la fonction est dérivable ?

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour montrer que la fonction est dérivable en 0, il faut effectivement calculer la limite de [f(0+h)-f(0)]/h quand h tend vers O et la limite n'est pas 0.
Vous devez refaire vos calculs. Si la limite existe et est finie alors la fonction dérivable en 0
Puis vous devez ensuite faire un raisonnement similaire en 2 c'est à dire calculer la limite de [f(2+h)-f(2)]/h quand h tend vers 0
Bon courage

[Marielle]

Bonsoir.

lim de [f(0+h)-f(0)]/h quand h tend vers O = lim de [f(h)-0]/h quand h tend vers O = lim de [h racine carré (4-h²)]/h quand h tend vers O = lim de racine carré (4-h²) quand h tend vers O = 0 ? La bonne réponse est + l'infini, mais je ne vois pas mon erreur.

[SoS-Math(9)]

Tu as écrit :
"lim de racine carré (4-h²) quand h tend vers O = 0"
Ta réponse est fausse ceci ! On a : \(\lim_{h\to\0}\sqr{4-h^2}=\sqr{4-0^2}=2\)
Donc ta fonction est dérivable en 0 !

Recommence le même travail pour la dérivée en x = 2.

Bon courage,
SoSMath.

[Marielle]

Merci beaucoup.

[marielle]

la limite de [f(2+h)-f(2)]/h quand h tend vers 0 est 0.

Grâce aux limites en 0 et en 2 on voit que la fonction est positive et continue sur l'intervalle [0;2], alors la fonction est dérivable ?

[SoS-Math(9)]

Marielle,

la limite de [f(2+h)-f(2)]/h quand h tend vers 0 n'est pas 0 (mais \(-\infty\))

ATTENTION : Une fonction continue en x0, n'est pas forcément dérivable en x0 !
(exemple : f(x) = \(\sqr{x}\) est continue en 0 mais pas dérivable en 0!)

En calculant la limite de [f(x0+h)-f(x0)]/h quand h tend vers 0 tu détermine si la fonction est dérivable en x0, donc qu'elle est continue en x0.
(Tu as le théorème : SI une fonction est dérivable en x0, alors elle est continue en x0)

Je te laisse reprendre tes calculs et conclure pout x=2.
SoSMath.

[Marielle]

Si je prend une l'autre formule pour montrer qu'un fonction est dérivable : la limite de [ f(x) - f(a) ]/ (x-a) quand x tend vers a, alors on a

limite de [ f(2) - f(0) ]/ (2-0) quand 2 tend vers 0 = limite de [ 0 - 0 ]/ (2) quand 2 tend vers 0 = 0 , je trouve encore zéro !

[SoS-Math(9)]

Marielle,

Tu as écrit :"la limite de [ f(x) - f(a) ]/ (x-a) quand x tend vers a"
donc pour a = 2, tu as : la limite de [ f(x) - f(2) ]/ (x-2) quand x tend vers 2,
et non la limite de [ f(2) - f(0) ]/ (2-0) quand 2 tend vers 0, qui n'a pas de sens !

Je t'aide un peu : utilise la 1ère formule et montre que
Montre que \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) = \(\frac{(2+h)(-h-4)}{\sqr{-h^2-4h}}\).

SoSMath.

[Marielle]

J'ai réussi à trouver cette égalité! ensuite je remplace h par 2 ?

[SoS-Math(9)]

Pas tout à fait ... tu recherche la limite de cette expression quand h tend vers 0 (et non 2 !)

SoSMath.

[Marielle]

Ce que je ne comprend pas c'est qu'on a des nombres négatifs sous la racine carré !

[SoS-Math(9)]

Marielle,

tu as raison cela est surprenant ! Mais c'est juste !
Ta fonction f est définie sur [0 ; 2], donc f(2+h) esxiste si h est négatif !
Donc tu recherches la limite de ton quotient, lorsque h tend vers 0 par valeur inférieure à 0.
(Tu peux vérifier que pour h appartenant à [-2 ; 0], -h²-4h est positif !)

SoSMath.