DM sur les fonctions exponentielles

[Coralie]

Bonjours
j'ai un devoir maison sur les exponentielles et je bloque un peu pour une question
Soit pour tout entier relatif k, on note \(\f_{k}\)(x)=(x+1)\(e^{kx)\).
On note \(\C_{k}\) la courbe représentative de la fonction \(\f_{k}\) dans un repère orthonormal du plan.
Calculer \(\f'_{k}\) (la dérivée) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction \(\f_{k}\) suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas: k>0 et k<0.)

Voila donc je trouve \(\f'_{k}\)(x)=\(e^{kx}\)-\(ke^{kx}\)(x+1)
donc \(\f'_{k}\)(x)=\(e^{kx}\)[1-k(x+1)]

Mais par contre je ne comprend pas pour la suite surtout avec les 2 cas.
Si vous pourriez m'aider
je vous en remercie
Coralie

[sos-math(13)]

Bonjour,

le Tex ne passe pas en ce moment. Je vais essayer de lire entre les lignes.
(au fait pour le "prime", le codage est \prime.

Pourquoi un "moins" dans la dérivée ? C'est une dérivée de fonction produit.
Pour la suite, l'étude du sens de la fonction demande de connaître le signe de la dérivée. Mais avec la fonction exponentielle (en facteur), l'étude est facilitée. Cependant, le signe va dépendre de k. Il convient donc d'envisager différents "cas" selon k. L'énoncé suggère de distinguer k<0 et k>0, ce qui est une piste...

Bon courage.

[Coralie]

oui je suis d'accord avec vous
mais ça dépend également de x nan??
car si la parenthese est positive ou négative et suivant le signe de k
je vous remercie
coralie

[sos-math(13)]

Bonsoir,

ça ne dépend pas du signe de k...
(uv)'=u'v+uv'
c'est bien un plus...
Sinon tu as bien repéré la factorisation, donc tu devrais t'en sortir très bien.

Bon courage.

[Coralie]

oui j'ai vu que je m'étais tromper au niveau du signe
mais ce que je veux dire c'est que pour trouver le signe de la dérivée, il faut trouver les valeur de x pour savoir quand elle passe du negatif au positif ou inversement
et de meme au niveau de k il nous aide en distinguant 2 cas (k<0 et k>0)
mais j'aimerais savoir comment on peux faire, ayant 2 inconnu , surtout avec ce x qui me dérange
merci
Coralie

[sos-math(13)]

Bonsoir,

c'est le signe de 1+k(x+1) qui détermine le signe de la dérivée.
Et le signe doit être déterminé en fonction des valeurs de x (qui peuvent dépendre de k...)
Distinguer k négatif et k positif est essentiel dans la résolution de l'INéquation 1+k(x+1)>0 car tu vas diviser par k à un moment.

Bon courage.

[Coralie]

diviser par k??
mais ce que je veux dire c'est que dans le tableau de signe on ne peux aps mettre les valeur de k et de x
je suis un peu perdu
merci
coralie

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

Révise les règles de résolution des inéquations.

Y a-t-il une différence lorsque tu dois résoudre les deux inéquations suivantes : 2x > -3 et -5x > 4 ?

Quel réflexe dois-tu avoir lorsque tu dois résoudre kx > ... ?

A bientôt.

sos-math

[Coralie]

Bonjours,
non il n'y a aps de différence mise à part le résultat x>-3/2 et x<-4/5
le réflexe que je dois avoir c'est isolé le x et le k mais je ne vois toujours pas comment je peux faire car ça dépend toujours de x
donc dans le tableau de signe c'est bien les valeurs de x mais le k on en fais quoi?
et comment trouver les valeurs de x quand on a un 2e inconnu qui est k
Je vous remercie beaucoup
Coralie

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

La différence c'est que dans le deuxième cas, tu as changé le sens de l'inéquation.

f'_k(x) est du signe de kx + k + 1, donc tu étudies le signe de kx + k + 1.
Pour cela, tu résous l'inéquation kx + k + 1 > 0 équivalente à kx > -k - 1.
Et c'est là que tu dois distinguer deux cas :
1° cas : k > 0, alors l'inéquation équivaut à ...
2° cas : k < 0, alors l'inéquation équivaut à ...

Bonne continuation.

sos-math

[Coralie]

A oui je vois donc k>0 équivaut à (-k-1)/x et k<0 équivaut à (-k-1)/x ???
et donc comme l'exponentielle quie st devant est toujours strictement positive le signe de la dérivée ne dépend sue du signe de la parenthese soit de jx+k+1
est ce cela??
je vous remercie
Coralie

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

Pour voir les erreurs, regarde les couleurs dans ton message précédent.

En bleu, je te rappelle que l'équivalence s'emploie entre deux propositions et qu'une expression algébrique n'est pas une proposition. Pour reconnaître une proposition tu dois pouvoir dire : elle est vraie ou elle est fausse.

Pour la résolution de l'inéquation kx > -k - 1, l'inconnue est x, tandis que k est un paramètre. Résoudre l'inéquation c'est exprimer les valeurs de x possibles en fonction de k.

Enfin, dans ton raisonnement sur le signe de la dérivée, je pense que tu as voulu écrire k et non j.

A toi de reprendre ces différents points.

sos-math

[Coralie]

je viens de retravailler ça
je vous propose ce que j'ai mi:

Donc on sait que la dérivé est du signe de kx+k+1 donc la dérivé s'annule pour x=-\(\frac{k+1}{k}\)

Ici on observe 2 cas:
Lorsque k<0:
f\(\f_{k}\)'(x)>0 si kx+k+1>0 donc si x<-\(\frac{k+1}{k}\)
f\(\f_{k}\)'(x)<0 si kx+k+1<0 donc si x>-\(\frac{k+1}{k}\)
On en déduit que lorsque k<0 , f\(\f_{k}\) est croissante sur ]-\(\infty\); -\(\frac{k+1}{k}\)] et que f\(\f_{k}\) est décroissante sur [-\(\frac{k+1}{k}\); +\(\infty\)[
Lorsque k>0: je ne suis pas sur car elle devrait etre croissante mais je n'arrive pas à expliquer car j'ai fait la meme methode que pour k<0 et du coup ça ne marche pas
est ce que vous pourriez m'aider
je vous remercie par avance
coralie

[sos-math(19)]

Bonjour Coralie,

Tu as bien répondu pour k<0.

Pour k>0 : f'_k(x) > 0 équivaut x > -(k+1)/k, d'où tu déduis les variations.
La fonction est d'abord décroissante, puis croissante.

Tu dresses ensuite le tableau de variation dans chaque cas.

Je pense qu'on peut clore là le sujet.

A bientôt sur sos-math.