Problème sur le théorème de Thalès

[Key]

Bonjour !
J'ai un très gros problème pour faire ce long exercice. Je ne comprend quasiment aucunes des question posées . J'ai tout de même essayé du mieux que j'ai pu pour le faire mais c'est très médiocre voire faux.

Dans le schéma ci-contre, ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 6 cm et BC = 8 cm.
P est un point du segment [AB]. Le quadrilatère PQCS est un rectangle inscrit dans le triangle ABC.
On pose CS = x.
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.

Première partie

2) Donner un encadrement de x (c'est-à-dire déterminer la valeur minimale et la valeur maximale entre lesquelles x est compris).
Je pense que x est compris entre 0 et 6 mais je ne sais pas comment justifier.

3) En appliquant le théorème de Thalès, montrer que PS = -4/3x + 8.
Je ne trouve ne le "-" et le "+8" car mon rapport doit être incorrect. Je ne trouve que PS= 4/3

4) Pour quelles(s) valeur(s) exacte(s) de x le quadrilatère PQCS est-t-il un carré ? Justifier.
Je n'ai pas du tout compris cette question.

5) On note A l'aire du rectangle PQCS en cm^2.
a) Montrer que A =-4/3 x^2 + 8x
A = (-4/3x +8) x =-4/3 x^2 + 8x

Seconde partie

On a représenté ( sur le graphique ) l'aire A du rectangle PQCS en fonction de x.
1) L'aire du rectangle PQCS est-elle proportionnelle à la longueur x ? Justifier en utilisant uniquement le graphique.
L'aire du rectangle PQCS n'est pas proportionnelle à la longueur x car la courbe du graphique n'est pas une droite.

2) Déterminer graphiquement l'aire du rectangle PQCS lorsque x vaut 5,5 cm : on indiquera sur le graphique les pointillées utiles pour la lecture.
A = 3,5 cm^2

3) Déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire du rectangle vaut 9 cm^2. Indiquer sur le graphique les pointillés utiles pour la lecture.
x = 1,5; et x = 4,5

4) Pour quelles valeur de x, l'aire du rectangle est-elle maximale ? Déterminer alors l'aire maximale associée. Indiquer sur le graphique les pointillés utiles pour la lecture.
x = 3
A = -4/3*3^2+8*3
= 12 ( sans les détails du calculs )

( Je m'excuse pour l'écriture des thermes mathématiques mais je ne suis pas parvenue à les écrire correctement même avec le "TeX". )
J'espère que vous pourrez me venir en aide, je travaille sur ce DM depuis le debut du week-end et n'y parvient toujours pas à le faire en entier.
Merci

[SoS-Math(6)]

Bonjour Key,

Première partie,
2) vous avez raison, il suffit de voir que S appartient au segment [CA].

3) Indiquez-nous votre égalité de rapport donné par Thalès, on pourra voir ou est votre erreur.

4) Pour que PQCS soit un carré, il faut que PS=x, vous aurez donc une équation.

5a) c'est juste.


Seconde partie
1) juste
2)la suite semble bien.
A bientôt

[Key]

Bonjour,
pour la 3) On sait que les points A,P,B et A,S,C sont alignés (sur deux droites sécantes) et que (PS)//(BC). D'après le théorème de Thalès :
AP/AB = AS/AC = PS/BC
AP/10 = (6-x)/6 = PS/8
PS = (6-x)8/6
= 48 -8x/6
( Je coince sur la suite. )


A Bientôt !

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Ce que tu as fait est plutôt bien. Tu as

PS = 48 -8x/6

Donc \(PS=\frac{48}{6}-\frac{8x}{6}=...\)
Je te laisse continuer, tu vas voir apparaître le "+8" et le "-"...

4) Que faut-il à un rectangle pour qu'il devienne un carré ? Comment peux-tu traduire cette propriété avec les informations de cet exercice...

5) Ok, ce que tu as fait est juste.
La deuxième partie est également bien faite.

Bonne recherche pour le peu qu'il te reste à faire.

[Key]

Bonjour !

PS = 8(6-x)/6
= 48 -8x/6 [par développement]
= 48/6 -8/6x
= 8 -4/3x [ par réduction
Donc PS = -4/3x +8

4) Pour qu'un rectangle soit un carré, il faut qu'il est ses quatre côtés de même longueur. Nous n'avons pas d'informations sur le coté CS, hormis que c'est x.
Sachant que PS = -4/3x +8, pour que PQCS soit un carré, x doit être égale à -4/3x +8. ( Mais ce que je n'ai pas compris c'est s'il doit rester inscrit dans le triangle ABC car si le quadrilatère PQCS est un carré de -4/3x +8 de coté, il n'est plus incrit dans le triangle ABC. D plus, dans l'énoncé, il y a des "s" entre parenthèses. )
Y a-t-il un rapport entre le 3) et le 4) ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Pour le début de l'exercice, c'est bon.

Effectivement, pour que PQCS soit un carré, x doit être égale à -4/3x +8.
Pour x compris entre 0 et 6, ce rectangle (ou carré) est toujours inscrit dans le triangle ABC !
Il te faut donc résoudre l'équation \(x=\frac{-4}{3}x +8\).
Les "s" entre parenthèses indique qu'il peut y avoir plusieurs solutions.

Bonne recherche.

[Key]

Je ne pense pas avoir trouvé la bonne réponse mais j'ai tout de même essayer. Donc, ça me donne :
x = -4/3x +8
x +4/3x = 8
4/3* 2x = 8
8/6 x = 8
x = 8 / (8/6)
x = 8* 6/8
x = 6

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Ce que tu as fait est presque bien...

x = -4/3x +8
x +4/3x = 8 Oui
4/3* 2x = 8 Non, pour éviter ce type d'erreur, tu peux multiplier tous les termes de cette équation par 3, ainsi il n'y aura plus de fraction.

Reprends donc l'équation x +4/3x = 8 et effectue cette multiplication par 3.

Bonne correction.

[Key]

Pendant que vous me répondiez, j'ai réessayé :

x = -4/3x +8
x +4/3x = 8
x*3/1*3 +4/3x= 8
3x/3 +4/3x = 8
7/3x = 8
x = 8 / (7/3)
x = 8 * 3/7
x = 24/7

Donc le quadrilatère PQCS est un carré lorsque x = 24/7. Mais comment lettre en forme la justification ?

Est - ce correct cette fois ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Oui, ta résolution est juste.

A bientôt.

[Key]

Merci beaucoup pour votre aide !
A bientôt.

[SoS-Math(7)]

A bientôt sur SOS Math