Équation dans R

[Samuel]

Bonjour
Comment résoudre (x-5)^(x^2+3x) =1 ?
Merci pour votre aide.

[SoS-Math(35)]

Bonjour ,

je peux te donner cette indication pour commencer :
\((x-5)^{x²+ 3x} \) = \(e^{(x²+ 3x)ln(x-5)} \) ce qui est impose que x \(\in\) ] 5; + \(\infty\)[.

Sos math.

[Samuel]

Bonjour
Merci pour réponse
J'ai trouvé S={0, -3}
C'est bien ca ?

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Ces solutions ne se trouvent pas dans le domaine de définition. Ce sont les solutions de l'équation x² + 3x = 0 car tu sembles avoir reconnu une équation produit nul à résoudre. C'est l'autre facteur qu'il faut rendre égal à 0.

Tu peux me renvoyer ta solution.

sos math.

[Samuel]

Ah j'ai oublié ln(x-5)=0 donc x=6
Finalement S={6} .

[SoS-Math(33)]

Bonjour Samuel,
\((x-5)^{x²+ 3x} \) = \(e^{(x²+ 3x)ln(x-5)} \) ce qui est impose que \(x \in ~ ] 5; +\infty ~[\)
Tu as bien une équation produit nul,
Pour \( x^2+ 3x =0\) tu as bien \(0\) et \(-3\) comme solutions
Pour \(ln(x-5)\) tu as bien \(6\) comme solution

Maintenant en prenant en compte le domaine de validité de ton expression, \(x \in ~ ] 5; +\infty ~[\), \(0\) et \(-3\) ne sont pas valables donc tu as bien S={6}

SoS-math

[Samuel]

J'ai penser à x=0 car nombre^0=1 de mémoire du collège
Du coup j'ai vérifier pour x=-3 ca donne aussi (..)^0 =1
Alors 0 et -3 sont bien solution de l'équation de départ
Donc logiquement S={0,-3,6} même si 0 et -3 ne vérifié la 2eme équation a cause du log
Il ya un gros souci. Qu'est ce que je doit conclure ?

[SoS-Math(35)]

0 et -3 ne sont pas solutions car ils n'appartiennent pas au domaine de définition de l'expression.
ln (- 3-5) et ln ( 0 -5) n'existent pas.
La seule solution à cette équation est x = 6.

Sos math.

[Samuel]

0 et -3 ne sont pas solutions car ils n'appartiennent pas au domaine de définition de l'expression.
ln (- 3-5) et ln ( 0 -5) n'existent pas.
La seule solution à cette équation est x = 6.

Sos math.

Je suis d'accord que 0 et -3 ne verifie pas l'équation avec le log .
Ce que je comprend pas c'est que 0 et -3 sont solutions de l'équation demandé, cad celle-ci : (x-5)^(x^2+3x) =1
Pour x=0 on a bien (0-5)^0 =(-5)^0 =1
Pour x=-3 on a bien (-3-5)^0=(-8)^0 =1
On voit bien que 0 et -3 vérifie l'équation qu'on nous demande.
Ca ne suffit pas pour dire que 0 et -3 sont solution ?

[SoS-Math(33)]

C'est qu'en fait \(0^0\) n'est pas réellement défini mathématiquement, d'ailleurs au collège quand on aborde les puissances il est toujours noté dans la définition d'une puissance pour tout nombre non nul et on donne le cas particulier \(a^0 =1\)pour \(a \ne 0\)
sos-math

[Samuel]

C'est qu'en fait \(0^0\) n'est pas réellement défini mathématiquement, d'ailleurs au collège quand on aborde les puissances il est toujours noté dans la définition d'une puissance pour tout nombre non nul et on donne le cas particulier \(a^0 =1\)pour \(a \ne 0\)
sos-math

Oui tout à fait d'accord que 0^0 n'est pas défini ce qu'on voit déjà au collège
Mais ici dans tout ce que j'ai dit auparavant il n'ya jamais question de 0^0.
Je répète :
Pour x=0 on a (0-5)^0= (-5)^0 =1
Pour x=-3 on a (-3-5)^0 =(-8)^0 =1
Dans les cas il n'ya pas de 0^0 donc 0 et -3 sont bien solution de l'équation initial (x-5)^(x^2+3x)= 1.

[SoS-Math(35)]

Pour t'en convaincre Samuel, je te remets si dessous la définition d'une fonction puissance :

Si a est un nombre réel, on appelle fonction puissance d'exposant a la fonction définie sur ]0,+∞[ par v(x)=\(x^{a}\) = exp(aln(x)).
Son domaine de définition est R∗+.
Si a>0, alors v admet un prolongement par continuité en 0 en posant v(0)=0.
Si α=n est un entier, cette définition coïncide avec la définition classique de \(x^{n}\) , et on peut définir la fonction sur R tout entier.
Si a = 1/n, cette définition coïncide avec celle de la racine n-ème et on peut définir la fonction sur R lorsque n est impair.

Par conséquent, son domaine de définition, dans notre exercice est bien ]5; +00[.
Et donc il n' y a pas de sens à évoquer 0 et -3.

sos math.

[SoS-Math(33)]

J'avais mal interprété ta remarque de 19h12, désolé.
SoS-math(35) t'a donné le complément d'explication.
J'espère que c'est plus clair pour toi.
SoS-math

[Samuel]

J'avais mal interprété ta remarque de 19h12, désolé.
SoS-math(35) t'a donné le complément d'explication.
J'espère que c'est plus clair pour toi.
SoS-math

Bonsoir
Il n'y a pas de souci.
Le complément d'explication de votre collègue sos35 ne suffit pas pour justifier que x=0 par exemple n'est pas solution de l'équation demandé.
Alors que pour x=0 on a bien (0-5)^0 =1 donc l'équation est bien vérifié pour x=0 et (-5)^0 est bien défi
Ou' est donc le problème ?

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Tu as raison , en plus de x = 6, 0 et -3 sont aussi solutions car tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1.

Sos math.