calcule de matrice en fonction de n

[jean]

bonsoir j'ai un exercice sur les matrices que je n'arrive pas à comprendre certaines parties

On considère la matrice: A (voir schéma )

1. Calculer la matrice A^2

2. On définit A^n pour tout n non nul et A^(n+1)=(A^n)×A

a) Calculer A^(n+1)

(b) En déduire la relation: a(indice n+1)=3-2×a(indice n)

3. Soit la suite (bn) définie pour tout entier naturel n non nul par: b(indice n) = a(indice n) - 1

(a) Montrer que (bn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

(b) Calculer bn puis an en fonction de n.

4. En déduire A^n en fonction de n.
pour la question 1 j'ai trouvé
1) A^2= {1 0 0 : -6 7 -6 : -3 3 -2} j'ai mis les deux points pour séparer les différentes lignes
2) pour le deuxième j'ai trouvé ( mais je ne suis pas trop sûre de mes résultats)
A(^n+1)=(1 0 0 : 6-4an -5+7an 6-4an : 3-2an -3+2an 4-2an)
à partir d'ici je n'arrive pas à comprendre la suite de l'exercice

[SoS-Math(35)]

Bonjour Jean

Quelles sont les questions qui te posent problème?

Sos math.

[Jean]

d'abord j'aimerais que vous vérifiez le 2 a la question question qui me pose problème c'est le 2b et la dernière question

[jean]

c'est principalement la question 2b que je ne comprends pas

[SoS-Math(35)]

Je suis OK avec toi pour la question 1).

Pour la question 2a), j'ai trouvé une erreur : A(^n+1)=(1 0 0 : 6-4an -5+4an 6-4an : 3-2an -3+2an 4-2an)
Pour la question 2)b) , en reprenant les notations de A(^n+1) définie dans l'énoncé et en changeant d'indice n en n+1 on obtient ce qui est demandé
en comparant avec le calcul obtenu à la question 2 ) a , il vient que \(a_{n+1}\) = 3 -2 \(a_{n}\).

Il s'agit juste d'une comparaison terme à terme de la définition pour \(A_{n+1}\) par la définition et celle issue du calcul que tu as mené en 2)a).

Sos math.

[Jean]

pour le calcul de A^(n+1) j'ai trouvé {1 0 0: 6-4a 4a-5. 6-4a: 3-2a 2a-3. 4-2a}

[SoS-Math(35)]

Oui en remplaçant a par an.

Sos math

[jean]

oui c'est une erreur maintenant comment faire la question 2b

[SoS-Math(35)]

Bonjour Jean,

Pour la question 2)b), dans l'énoncé, on te donne la définition de la matrice \(A^{n}\). Tu peux ainsi appliquer cette définition pour \(A^{n+1}\). ( 1; 0; 0 / 2\(a_{n+1}\) ; 1- 2\(a_{n+1}\) ......)
Tu la compareras à celle que tu as trouvée par le calcul dans la question 2)a).
Si tu prends par exemple le coefficient de la première colonne et de la troisième ligne, tu constates facilement que \(a_{n+1}\) = 3 -2 \(a_{n}\).

Sos math.