Exo bac pour prépa devoir commun nombres complexes... (TS)

[elcharlot]

Pour commencer, bonjour à tous.
Alors en fait pour les références, j'ai besoin de votre aide pour résoudre l'exercice 172 page 294 du manuel de maths collection hyperbole TS obligatoire (programme 2002).
Il s'agit d'un exercice sur les nombres complexes.

"Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;OU,OV), on considere les points Mn d'affixes zn= (1+i racine3) (i/2)puissance n [où n est un entier naturel]."

1. La premiere question consiste à exprimer zn+1 en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n, je trouve zn+1=zn(i/2) ... z peut donc etre definie comme une suite geometrique de raison i/2 et par consequent zn=z0 ((i/2) puissance n)

2. Ensuite on demande de calculer z0,z1,z2,z3,z4 (forme algébrique et trigonometrique). Je trouve alors:
z0=1+iracine3 =2(cos(pi/3)+isin(pi/3))
z1=(i/2)-(racine3/2) =(cos(5pi/6)+isin(5pi/6))
z2=(-1/4)-(iracine3/4) = 1/2(cos(4pi/3)+isin(4pi/3))
z3=(-racine3/8)-(i/8) =1/4(cos(7pi/6)+isin(7pi/6))
z4=(1/16)+(iracine3/16) =1/8(cos(pi/3)+isin(pi/3))

3. Je place les points M0,M1,M2,M3,M4 sur le graphique

4. Déterminer la distance OMn en fonction de n.
Là je vois vraiment pas trop...
Peut-on dire: OMn=module de z or z est une suite geometrique de raison i/2 et /z/ est toujours un reel pur; par consequent /z/ est une suite geometrique de raison 1/2 ???

5. a) Montrer que l'on a MnMn+1=racine5/2puissance n pour tout entier naturel n.
J'ai essayé de réaliser une récurrence en prenant Pn: module zn-zn+1 = racine5/2puissance n mais j'y arrive pas vraiment (excepté pour montrer l'initialisation...)

b) On pose Ln=somme MkMk+1 (au dessus du signe somme il y a écrit "n" et en dessous "k=0"). Déterminer L en fonction de l'entier n. Calculer lim Ln quand n tend vers +infini.
Comme Mn+1Mn+2=MnMn+1(1/2) j'ai dit que MM' était une suite géomètrique de raison 1/2. J'applique la formule de la somme de termes consecutifs d'une suite geometrique et je trouve Ln= (-racine5/2puissance n) + 2racine5
La limite de Ln est donc 2racine5.

6.Déterminer une mesure de l'angle (OM0;OMn) e fonction de l'entier n. Pour quelles valeurs de n, les points O, M0 et Mnsont-ils alignés ?
On voit que l'argument de zn doit etre pi/3 ou 4pi/3 car (OM0;OMn) doit etre de 0 ou pi et donc je peux dire que les valeurs de n possibles sont représentées par la drite d"équation y=racine3x mais à part ça je vois pas.

Merci d'avance, je vous serez tres reconnaissant de prendre un peu de temps pour m'aider dans ma résolution plus que laborieuse...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

Pour la question 4, il faut utiliser le fait que OM = |z| où z est l'affixe de M.
Pour la question 5a, il faut utiliser le fait que AB = |.......| (à toi de trouver !)
Pour la question 5b, cela semble bon, mais la rédaction est approximative ... (MM' une suite géométrique ?)
Pour la question 6, tu sais que l'angle(OM0;OMn) est égale à l'argument de ...(à toi de trouver !).

bon courage,
SoSMath.

[elcharlot]

Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide (pourtant il est vrai que hier soir quand j'ai lu votre réponse je me suis dis waouh, je suis bien avancé... mais finalement, quand je m'y suis remis tout à l'heure, ça a a été tout seul!).

Alors, pour la 4, je dis que OMn est le module de zn, je remplace et je trouve: OMn=2x(1/2)puissance n
Pour la 5a, j'applique la formule AB=/a-b/ et apres calcul je trouve bien racine5 / 2puissance n
Pour la 5b, que faut-il dire ? MnMn+1 est une suite géomètrique ? [je sais pas du tout, vu qu'on dit U est une suite geometrique pas Un est une suite geometrique...)
Pour la question 6, l'angle est égal a l'argument de zn - arg(z0) soit arg(zn/z0) je remplace et je trouve arg((i/2)puissance n)
Les valeurs de ipuissance n sont periodiques: ici, quand n est pair, le nombre est un réel pur et quand il est impair c'est un imaginaire pur d'où l'angle de 0/pi ou pi/2 et -pi/2...
La reponse a la reponde est donc il faut que n soit pair...

(je suis tres pressé je dois partir, je revient tout à l'heure merci encore, à bientôt... j'aurais surement besoin d'aide pour un simple exercice que j'aimerais neanmoins comprendre avant la corrrection en classe)

[sos-math(12)]

Bonjour,

Pour ta question 6, il faudrait aller au bout de ta démarche. Tu ne dis pas à quoi est égal l'argument du nombre complexe i/(2^n). Ce qui rend difficile la compréhension de ta conclusion.
Mais tes réponses sont correctes.

Bonne continuation.

Au revoir.