DM

[Pierre]

Bonjour,
J'ai un DM sur les polynômes, pouvez-vous vérifier certaines des réponses que j'ai apportées ? En vous remerciant.

1. On souhaite trouver trois nombres $a,b,c \in \mathbb{R}$ tels que $a+b+c = 2$, $ab+bc+ac = -5$, $abc = -6$

-Montrer que cela revient à calculer les racines du polynôme $P$ défini par $P(X) = X^3-2X^2-5X+6$

Montrons que $a,b,c$ sont les racines d'un polynôme $P$, pour cela on peut considérer l'expression $(X-a)(X-b)(X-c)$ après développement on obtient $(X-a)(X-b)(X-c) = X^3-X^2(b+a+c)+(ac+bc+ab)X-abc = X^3 - 2X^2-5X+6$

-Grâce au théorème de factorisation, répondre à la question initiale

En premier lieu $1$ est une racine évidente de $P$, ensuite il vient par le théorème de factorisation que $X-2 | P(X)$, en effectuant la division euclidienne de $P$ par $X-1$ on obtient $X^3-2X^2-5X+6= (X-1)(X^2-X-6)$, en calculant les racines de $X^2-X-6$ on a $r_{1} = -2$ et $r_{3} = 3$ (ou toute autre permutation cyclique des racines trouvées), donc $a=1$, $b= -2$ et $c=3$ car ce sont les racines de ce polynôme, réciproquement on vérifie que les valeurs trouvées conviennent.

2. Déterminer la forme factorisée de $P(X) = 2X^3-7X^2+2X+3$, c'est à dire $P = a(X- \alpha)(X - \beta)(X - \gamma)$

-En premier lieu $3$ est une racine évidente de $P$ et son terme égal à son degré est $a = 2$, on peut écrire d'après le théorème de factorisation $P(X) = 2(X - 3)(X - \beta)(X - \gamma)$ en développant on trouve $P(X) = 2X^3-X^2(2\gamma+2\beta+6) + (2\gamma \beta + 6\gamma +6\beta)X-6\gamma \beta$ ce qui donne encore
$\left\{\begin{eqnarray} 2\gamma + 2\beta + 6 &= 7 \\ 2\gamma\beta + 6\gamma + 6\beta &= 2 \\ -6\gamma\beta &= 3 \end{eqnarray}\right.$

$\iff \left\{\begin{eqnarray} 2\gamma + 2\beta &= 1 \\ 6\gamma + 6\beta = 3 \end{eqnarray}\right.$

-On doit donc avoir $\gamma + \beta = \dfrac{1}{2}$ ce qui donne $\gamma\beta = \biggl( \dfrac{1}{2} - \beta \biggr)\beta = -\dfrac{1}{2}$ après développement et factorisation on obtient $(\beta - 1)(\beta + \dfrac{1}{2}) = 0$ ainsi soit $\beta = 1$ soit $\beta = \dfrac{-1}{2}$ de même pour $\gamma$, on peut donc supposer sans perdre en généralité que $\gamma = -\dfrac{1}{2}$ et $\beta = 1$, donc le polynôme s'écrit finalement $P(X) = 2(X-3)(X-1)(X + \dfrac{1}{2})$

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes démarches sont tout à fait valides et tes réponses me semblent correctes mais la rédaction peut gagner en rigueur.
Peut-être devras-tu détailler la division euclidienne de $P$ par $X-1$ dans la première question.
Dans la deuxième question, la résolution du système sera à rédiger de manière plus rigoureuse car tu mets une équivalence entre deux systèmes qui ne le sont pas (tu dois garder l'équation $-6\gamma\beta=3$ sinon, il te reste deux équations équivalentes donc une infinité de solutions).
Je te laisse le soin de reprendre la présentation, mais, mathématiquement, c'est du très bon travail.
Bonne continuation