Avec un changement de variable

[SoS-Math(6)]

Bonjour,

C'est bon pour z1.
Pour z2, la formule est\(z2=\frac{-b- \sqrt{ delta}}{2a}\)....

[Acer]

j'avais vu que Z2 etait de signe contraire a Z1 , alors ca doit etre quand delta < 0 ?
_______
Z2= ( - (1-\/3) - \/ (1+\/3)² ) / 2
= ( -1+\/3 -1 - \/3 ) /2
= - 2 /2
= -1

Question 2.

Resoudre dans C les equations en z:
(1). Z+(1/z)= -1

reponse:
z+(1/z)+1=0
delta= b² - 4ac
pour 1/z le coefficient de z c est 1 ?

[sos-math(13)]

Bonjour Acer,

z1 et z2 ne sont pas nécessairement de signes contraires. Dans R, on pourrait trouver une condition pour que ce soit le cas, mais dans C, la notion n'a plus aucun sens :
Quel est le signe de 1+i ? et de 1-i ? de -1+i ? etc... Il n'y a pas de relation d'ordre dans C.
"Opposés" à un sens, mais "de signes contraire" (qui implique la notion de positif/négatif) n'en a pas.

Et si le discriminant est négatif, on n'écrit alors pas \(\sqrt{\Delta}\), puisque la racine n'est pas définie, mais on cherche un complexe dont le carré vaut \(\Delta\). Il en existe deux, qui sont opposés.

Pour ta nouvelle équation, ne calcule pas de discriminant tant que tu n'as pas d'équation du second degré. Il semble utile de multiplier par z (différent de 0) les deux membres de ton équation.

Alors tu pourras conclure.

Bon courage.

[Acer]

question 2.
On designe alpha et alpha ' les solutions de l'equation (1)

Z+(1/z)=-1
z+(1/z)+1=0
z²+1+z=0
z²+z+1=0

delta= b²-4ac

delta=1-4
= -3
l'equation admet deux racines complexe conjugué

z1 =(-b+\/delta) / 2

alpha= -(+1+i \/-3) /2
= ( -1-i\/3) /2

[sos-math(13)]

Bonsoir,

plutôt que \(\sqrt{\Delta}\) qui donne \(\sqrt{-3}\), ce qui n'a pas beaucoup de sens, préfère dire \(\delta\) avec \(\delta^2=-3\).

Tu obtiens donc \(\delta=i\sqrt{3}\) (on aurait aussi pu travailler avec \(\delta=-i\sqrt{3}\)).

Ce qui te permet de conclure proprement. Car ici, que désigne ton \(\alpha\) ?

J'ai un peu de mal à te suivre car tu n'expliques pas ce que tu fais mais te contentes d'aligner des calculs.
Peux-tu être plus explicite ?

à bientôt.

[Acer]

ok, excuse moi , je vais esayer d'etre plus clair ^^
je vais recommencer, je reecris la consigne.
_________________________________________________
Question 2:

Resoudre C les equations en z

(1) z+(1/z)=1

(2) z+(1/z)= \/3

On designe par alpha et alpha' les solutions de l'equation (1), par beta et beta' celles de l'equation (2)
_____________________________________________________
voila ^^

reponse:

(1) z+(1/z)= - 1
z+(1/z)+1=0
transformation en fonction du 2nd degres

zxz + z x(1/z) + zx1
= z²+z+1

calcul du delta

delta= 1-4
= -3

alpha= (-1+ i \/-3) / 2

[sos-math(19)]

Bonjour Acer,

Définition de 3° :
La racine carrée d'un nombre positif \(a\) est le seul nombre positif dont le carré est \(a\). Ce nombre est noté \(\sqrt{a}\).
Ainsi, \(\sqrt{-3}\) n'a pas de sens.

Il te faut revoir le cours de terminale pour la résolution de l'équation du second degré dans C.

L'équation \(ax^2+bx+c=0\) (a, b, c réels et a différent de 0) n'a pas de solution dans R lorsque delta est strictement négatif. Dans ce cas, elle a deux solutions dans C données par les formules :

\(\frac{-b-i sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(\frac{-b+i sqrt{-\Delta}}{2a}\).

En espérant que ce rappel te sera utile. A bientôt.

sos-math

[Acer]

C'est pas ce que j'ai fais ?

j'ai calculé le premier alpha = (-b+i\/delta) / 2a

=(-1+ i \/-3) / 2

[sos-math(13)]

Bonsoir Acer,

non ce n'est pas ce que tu as fait.
Prends le temps de bien lire ta réponse, et de bien lire la remarque de sos(19).

Tu verras ce qui ne fonctionne pas...

Bon courage.

[Acer]

je ne vois pas l'erreur.^^
j'ai compris que
Delta <0 , l'equation admet deux solutions complexes conjuguées distinctes.
Alpha= (-b+i\/-delta) / 2a alpha'=(-b-i\/-delta) / 2a

pour l'equation z²+z+1=0

delta=-3
__
alpha= (-1+i \/+3)/2
__
alpha'= (-1-i \/+3) /2

[sos-math(19)]

Bonsoir Acer,

Maintenant, c'est bon.

As-tu d'autres questions ?

A bientôt sur sos-math.

[Acer]

Pour l'equation (2) : z+(1/z)=\/3

je fais 0= \/3 -(1/z) - z
0 = -z²+ \/3 z - 1

delta= 3 -4
= -1

beta= (- \/3 + i \/ + 1 ) / 2

beta' = (- \/ 3 - i \/ + 1) / 2

?

[sos-math(13)]

C'est ça.

Au passage, ces valeurs ont une jolie forme exponentielle, si tu l'as vue.

à bientôt.

[Acer]

Je ne les avais pas remarqué ^^.

Question 3.

Soit:
f(z)= z^4 + ( 1 - \/3 ) z^3 + (2 - \/3) z² + (1 - \/3 ) z + 1

Verifier que pour tout nombre complexe z non nul :

( f(z) / z² ) = (z + 1/z)² + (1 - \/3) ( z + 1/z) - \/3


je dois faire comment pour ca ?

[sos-math(13)]

Par exemple calculer f(z)/z², et comparer avec ce qui t'est donné... là, on est purement dans du calcul technique.

Bon courage.