Équation du second degré

[Samuel]

Bonjour j'ai un exercice et je ne comprends pas et j'aimerais avoir des indications pour résoudre l'exercice.
Soit f(x)=ax²+bx+c l'expression d'un polynôme du second degré tel que f(0)=-10 et qui admet le tableau de variation.f(x) est croissant sur l'intervalle moins Infini jusqu'à -3 et décroissant de -3 jusqu'à plus l'infini f(-3)=-5.
détermine sans calcul
a) le signe du nombre réel a
b) la valeur du nombre réel c
donne la forme canonique de f(x) en fonction de a
déduisant la forme développée de f(x) en fonction de a puis exprime b et c en fonction de a
déduis en la valeur de a et celle de b
J'ai trouvé facilement la première question le signe de a est négatif

MERCI

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
Pour la valeur de $c$ il faut utiliser l'information $f(0)=-10$ ainsi tu vas trouver $c=...$
$f(x)$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty;-3]$ et décroissante sur l'intervalle $[-3;+\infty[$ avec $f(-3)=-5$.
La fonction admet donc un maximum pour $x=-3$ qui est $-5$ ce qui permet d'avoir les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ de la définition de la forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$
Tu as donc $f(x)=a(x+3)^2-5$
Il te faut ensuite développer cette expression.
Il te faudra en utilisant la forme $ax^2+bx+c$ identifier les coefficients des puissances de $x$ de même degré.
Est-ce plus clair pour toi?
Je te laisse faire les calculs.
SoS-math

[Samuel]

Quant on développe l'expression f(x)=a(x²+6x+9)-5=ax²+6ax+9a-5
Mais je n'arrive pas à vous suivre quand vous dites d'utiliser la forme ax²+bx+c

[SoS-Math(33)]

D'un côté tu as $f(x) = ax^2+6ax+9a-5$ que tu viens d'obtenir en développant la forme canonique.
D'un autre côté tu as $f(x) = ax^2+bx+c$ forme du polynôme du second degré.
Maintenant il faut comparer les termes en $x$ de même exposant :
Pour les $x^2$ : $ax^2=ax^2$ donc $a=a$
Pour les $x^1$ : $6ax=bx$ donc $b=6a$
Pour les $x^0$ : $9a-5=c$
Comme tu connais la valeur de $c$ d'après la question b) tu vas trouver celle de $a$ avec l'égalité $9a-5=c$ puis celle de $b$ avec l'égalité $b=6a$
Comprends tu la démarche?
SoS-math

[Samuel]

Oui je comprends la démarche on a faire pas identification pour les trouver les différentes valeurs.
Donc on aura a=-5/9 et b=-10/3

[SoS-Math(33)]

Oui c'est bien ça,
ainsi $f(x) = \dfrac{-5}{9}x^2-\dfrac{10}{3}x-10$
Tu peux vérifier avec GeoGebra que la fonction trouvée vérifie bien les données de l'énoncé

Bonne après midi
A bientôt sur le forum
SoS-math

[Samuel]

Merci beaucoup