réiciproque en arithmétique

[Cédric]

Bonjour,
soit a, b, p et n des nombres entiers positifs avec n et p des entier strictement positifs.
Le = représente une congruence.
je sais que si a=b [n] alors a^p = b^p [n].
La réciproque est-elle vraie ?
Merci !
R.

[sos-math(21)]

Bonjour,
la réciproque est fausse, pour le prouver, il suffit de trouver un contre-exemple.
On peut chercher dans des congruences modulo 4, en partant de nombres non congrus modulo 4 mais comportant au moins un facteur 2.
En élevant à une puissance supérieure à 2, on fait apparaitre un facteur 4 dans chaque nombre donc on a une congruence à 0 pour ces deux nombres :
par exemples modulo 4 : On a $6\equiv 2\,[4]$ et $8\equiv 0\,[4]$ donc $6\not\equiv 8\,[4]$
et on a $6^3=216$ et $216\equiv 0\,[4]$ puis $8^3=512$ et $512\equiv 0\,[4]$.
On a donc bien $6^3\equiv 8^3\,[4]$ mais avec $6\not\equiv 8\,[4]$.
Bonne continuation

[Cédric]

Merci !
Je n'arrivais pas à trouver de contre-exemple !
Merci de m'avoir expliqué comment en trouver un !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pas de souci. Pour trouver des contre-exemples, c'est parfois délicat. Dans le cas qui nous concernait ici, il fallait plutôt chercher des congruences modulo 0 (des entiers divisibles) dans une "base" dont les critères de divisibilité étaient simples à vérifier.
En tout cas, tu te poses de bonnes questions, cela révèle ta grande curiosité pour les mathématiques, c'est très bien !
Bonne continuation