Orthogonalité et distance dans l'espace

[lola]

Bonjour,
ca fait un long moment que je bloque sur ce devoir de math.
Pourriez vous m'aider?
Merci d'avance


On considère le cube ABCDEFGH de coté 4 avec A(0;0;0) B(4,0,0) D(0;4;0) E(0;0;4). Soient les points J(0;0;2) M(4;0;2) et N (4;4;1).


1. Soit P le plan défini par les points M, N et J. Déterminer un vecteur �⃗(n) normal au plan P.


2. En déduire une équation cartésienne du plan P.


3. Soit I un point mobile sur (EH). Montrer qu'il existe un réel t tel que : I (0 ; t ; 4).


4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de (EH) et de P.


5. Déterminer en fonction de t les coordonnées du point K, projeté orthogonal de I sur P.


6. Soit T la pyramide de base JMNPH (où P est l'intersection de (JMN).


a. Montrer que JMNP est un rectangle.


b. Montrer que le volume de la pyramide T est égal à 16u.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Lola,

Où en es-tu dans cet exercice ?
1) Pour la première question, recherche une base du plan P (donc deux vecteurs non colinéaires) puis détermine les coordonnées d'un vecteur qui est orthogonal à chacun des vecteurs de la base.
2) Quel est le lien entre les coordonnées d'un vecteur normal à un plan et une équation cartésienne de ce plan ?
3) Recherche une équation paramétrique de la droite (EH)

Bonne continuation.

[Jylles]

Bonsoir
J'ai exactement le même exercice. Je suis bloqué à la question du projeté orthogonal, je ne suis pas satisfait du résultat que j'ai trouvé k (0;t+1;8). En vérifiant avec Géogébra je me suis aperçu que c'était plus un cas particulier qu'une généralité. Je n 'ai pas encore appris les droites paramétriques. je suis donc passé par le vecteur normal qui est aussi un vecteur directeur de la droite passant par I et perpendiculaire à P et j 'ai voulu ensuite effectuer le produit scalaire (=0) mais je n'arrive pas au bout de ma démarche. Est ce que vous pourriez , s'il vous plait, me dire si mon résultat est correct et sinon dans quelle direction dois je m'orienter ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour l'équation du plan P, tu trouves bien \(y+4z-8=0\), c'est cela ?
Pour le projeté orthogonal, tu peux considérer que le point que tu cherches appartient à la droite perpendiculaire au plan passant par le point \(I(0;t;4)\). Donc le point \(K(x;y;z)\), est un point de la droite passant par \(I\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}\). Donc il existe un réel \(u\), tel que \(\overrightarrow{IK}=u\overrightarrow{n}\), soit \(\begin{pmatrix}x\\y-t\\z-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\u\\4u\end{pmatrix}\) donc \(y=u+t\) et \(z=4u+4\).
Il te reste à remplacer ces deux expressions dans l'équation du plan P pour trouver la valeur de \(u\) en fonction de \(t\) et tu retrouveras ensuite les coordonnées de \(K\).
En fait on utilise les équations paramétrique de droite sans le dire...
Bon calcul

[Jylles]

Bonjour
Je vous remercie pour votre rapide réponse et vos explications. J'ai bien trouvé la même équation de plan. Je n'avais pas pensé à passer comme vous le conseillez car je voulais utiliser le produit scalaire, ..., ce n'était pas le bon chemin.
un grand merci pour votre précieuse aide
bon week end
Jylles

[sos-math(21)]

Bonjour,
on aurait aussi pu passer par le produit scalaire du vecteur \(\overrightarrow{IK}\) avec \(\overrightarrow{JM}\) et \(\overrightarrow{JN}\) mais cela a déjà été fait de manière implicite avec le vecteur normal au plan et tu aurais sûrement tourné en rond avec les points \(J,M,N\) ; il t'aurait sûrement fallu un autre point pour obtenir deux équations vérifiées par \(y\) et \(z\) : je ne suis pas allé plus loin dans la réflexion, mais cela me semblait un peu plus compliqué et plus éloigné des questions précédentes.
Bonne résolution

[Jylles]

En effet, j 'ai beaucoup tourné en rond.😊 Ca y est j ai réussi, et mon résultat est en adéquation avec Géogébra.
Merci
Jylles

[SoS-Math(33)]

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math