Approximations affines

[Fredy]

Soit f (x)=√x et on pose x=h+1. Pour |x|<1 montrer que |√(1+h) - (1+h/2)|< h²/2 où 1+h/2 est une approximation affine de f au voisinage de 0.

[sos-math(21)]

Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
Ce qui donne :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
sachant que $h>0$, tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par $\dfrac{h^2}{8}$
Je te laisse terminer

[Invité]

Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
Ce qui donne :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
sachant que $h>0$, tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par $\dfrac{h^2}{8}$
Je te laisse terminer

Pourquoi h>0 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que $h>0$ : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de $x\geqslant -1$ donc $x+1\geqslant 0$ donc par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}$ soit $\sqrt{x+1}\geqslant 0$
De même, en partant de $x\geqslant -1$, on a $1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
En faisant la somme, on a $\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
Donc en prenant l'inverse, on a $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2$
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul

[Fredy]

Bonsoir professeur.
Merci d'avoir accordé du temps à mon exercice. Toute fois, j'ai bien appris de votre démonstration.
Je voulais aussi m'excuser par rapport à mon manque de courtoisie dans le formulation de la demande.
Cordialement.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pas de problème, l'important est que tu aies compris.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que $h>0$ : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de $x\geqslant -1$ donc $x+1\geqslant 0$ donc par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}$ soit $\sqrt{x+1}\geqslant 0$
De même, en partant de $x\geqslant -1$, on a $1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
En faisant la somme, on a $\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
Donc en prenant l'inverse, on a $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2$
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul

Par contre, j'ai pas compris pourquoi x>=-1.?

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme on te dit que $|x|<1$, cela signifie que $-1<x<1$, donc $x>-1$.
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour,
comme on te dit que $|x|<1$, cela signifie que $-1<x<1$, donc $x>-1$.
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation

D'accord merci.
Mais du coup on trouve |rc(1+x)-(1+x^2/2)|<x^2/8 mais non x^2/2 ?

[sos-math(21)]

Oui, c'est bien cela,
je m'étais corrigé dans un message précédent et on aura bien $\dfrac{h^2}{2}$ à la fin conformément à ce qui était demandé :

Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que $h>0$ : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de $x\geqslant -1$ donc $x+1\geqslant 0$ donc par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}$ soit $\sqrt{x+1}\geqslant 0$
De même, en partant de $x\geqslant -1$, on a $1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
En faisant la somme, on a $\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
Donc en prenant l'inverse, on a $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2$
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul

donc en reprenant l'inégalité :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
on a
$\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{4}\times 2$ soit :
$\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{2}$.
Bonne continuation