TAF pour montrer une limite

[roujiaz]

Bonjour,
J'ai une question à propos d'une limite qu'on veut la démontrer en utilisant TAF

On veut montrer que \(\lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)
On a la fonction ln(x) continue su \([1;x]\) et dérivable sur \(]1;x[\) tel que \(x>1\)
Donc d'après TAF il existe c tq: \(c\in]1;x[\) et que \(\frac{lnx}{x-1}=ln'(c)\)
D'où \(ln(x)=\frac{x-1}{c}\)
Et puisque \(\lim_{x \to +\infty}(\frac{x-1}{c})=+\infty\)
On conclut donc que \(\lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)

Est ce que c'est juste comme preuve ? ( ça me parait pas très convaincant )
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
il y a une faille dans le raisonnement car tu ne sais pas comment se comporte le réel \(c\) : il n'est pas fixé donc le quotient \(\dfrac{x-1}{c}\) a une évolution qui ne peut pas être déterminée : si tu majores \(c\) par \(x\), le quotient est minoré par \(\dfrac{x-1}{x}\) qui ne tend pas vers \(+\infty\) en \(+\infty\).
Donc cela ne me paraît pas être une méthode correcte, à moins que tu contrôles mieux le comportement du réel \(c\). Mais dans le théorème des accroissements finis, on ne dit rien de plus sur le nombre \(c\).
Pour prouver cette limite, le plus simple est de revenir à la définition de limite et d'utiliser le fait que la fonction logarithme est réciproque de la fonction exponentielle : https://www.youtube.com/watch?v=F9HAeyOMZ0A
Bonne continuation

[roujiaz]

Bonjour,
Merci pour votre réponse et explication
Donc la faille se trouve au juste en introduisant la lim en + l'infini des 2 côtés de l'équation

[sos-math(21)]

Bonjour,
la faille se situe en rouge

Bonjour,
J'ai une question à propos d'une limite qu'on veut la démontrer en utilisant TAF

On veut montrer que \(\lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)
On a la fonction ln(x) continue su \([1;x]\) et dérivable sur \(]1;x[\) tel que \(x>1\)
Donc d'après TAF il existe c tq: \(c\in]1;x[\) et que \(\frac{lnx}{x-1}=ln'(c)\)
D'où \(ln(x)=\frac{x-1}{c}\)
Et puisque \(\lim_{x \to +\infty}(\frac{x-1}{c})=+\infty\) On ne connait pas la limite de ce quotient car le réel c est variable donc on ne peut pas conclure sur la limite
On conclut donc que \(\lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)

Est ce que c'est juste comme preuve ? ( ça me parait pas très convaincant )
Merci d'avance

Est-ce plus clair ?

[roujiaz]

Bonjour,
Oui j'ai compris. Je vous remercie infiniment pour votre effort et votre réponse plus que convaincante
@+ et encore une fois merci

[sos-math(21)]

Tant mieux si tu as compris la faille dans ton raisonnement.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math.