geometrie S

[Celine]

Bonjour, voici l'exercice qui me pose problème :

ABCDEFGH est le cube representé ci-contre,
les points M et J sont definit par DM=1/3DC
et BJ=2/3BC.

1°) Decomposer le vecteur HM en fonction des vecteurs GE et GJ.

2°) En déduire la position relative de la droite HM

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre, Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans cet exercice où les relations vectorielles ne sont pas évidentes a priori, je te suggère de passer par un repère.
Par exemple, le repère $(D,\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH})$.
Détermine les coordonnées des points H,G,E,J,M dans ce repère puis calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{HM}$, $\overrightarrow{GE}$,$\overrightarrow{GJ}$, tu devrais voir une relation de la forme $\overrightarrow{HM}=\ldots\times\overrightarrow{GJ}+\ldots\times \overrightarrow{GE}$.
Bon calcul

[Celine]

Les coordonnées des points étants assez important pour la suite de l'exercice, pouvez vous les vérifier. Merci

J'ai H(0;0;1)
G(0;1;1)
E(0;1;1)
J(1;1;2/3)
M(0;1/3;0)

[SoS-Math(33)]

Bonjour Celine,
tu as des erreurs pour les points E et J.
Leurs coordonnées sont :
E(1;0;1)
J(1/3;1;0)
Bonne continuation
SoS-math

[Celine]

En effet, après rectification j'ai comme coordonnées de vecteurs :
HM(0;1/3;-1)
GE(1;-1;0)
GJ(1;0;-1/3)

[SoS-Math(33)]

Il y a une erreur sur GJ
GJ(1/3-0 ; 1-1 ; 0-1) soit GJ(1/3;0;-1)
Il te reste à trouver la relation vectorielle maintenant.

[sos-math(21)]

Bonjour,
sauf erreur de ma part, tu dois avoir :
$\overrightarrow{HM} \begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{3}\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{GE} \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{GJ} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\0\\-1\end{pmatrix}$
Est-ce que tu as cela ?

[Celine]

Ah oui pardon, j'avais écrites les fausses coordonnées de J. Merci
Maintenant, comment obtenir l'expression ? HM=...GE+...GJ

[SoS-Math(33)]

Il te faut trouver $a$ et $b$ qui vérifie $\overrightarrow{HM}= a\overrightarrow{GE}+b\overrightarrow{GJ}$
soit
$\left ( \begin{matrix} 0\\ \dfrac{1}{3}\\-1 \end{matrix}\right) = a\left ( \begin{matrix} 1\\ -1\\0 \end{matrix}\right)+b\left ( \begin{matrix} \dfrac{1}{3}\\ 0\\-1 \end{matrix}\right)$
Tu devrais trouver facilement ces deux valeurs en regardant la deuxième et la troisième ligne des coordonnées.

[Celine]

A vrai dire je ne sais toujours pas, en regardant les deuxièmes et troisièmes lignes, en les additionnant on obtient -1 et -1...

[SoS-Math(33)]

La deuxième ligne donne
$\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0$
tu obtiens ainsi la valeur de $a$
La troisième ligne donne
$-1 = a\times 0 + b \times (-1)$
Tu obtiens ainsi la valeur de $b$

[Celine]

donc HM = 1/2GE -1GJ d'accord

et qu'entendent-il par position relative de (HM) et de plan (EGJ) ?
Merci

[SoS-Math(33)]

[Il y a des erreurs.

$\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0$ donne $a = -\dfrac{1}{3}$

$-1 = a\times 0 + b \times (-1)$ donne $b = 1$
donc $\overrightarrow{HM} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GJ}$

Une droite est soit parallèle à un plan soit sécante.
Ici le vecteur $\overrightarrow{HM}$ est exprimé en fonction de deux vecteurs qui forme une base du plan (EGJ) donc ...
Je te laisse terminer

[Invité]

[Il y a des erreurs.

$\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0$ donne $a = -\dfrac{1}{3}$

$-1 = a\times 0 + b \times (-1)$ donne $b = 1$
donc $\overrightarrow{HM} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GJ}$

Une droite est soit parallèle à un plan soit sécante.
Ici le vecteur $\overrightarrow{HM}$ est exprimé en fonction de deux vecteurs qui forme une base du plan (EGJ) donc ...
Je te laisse terminer

Bonjour, j'ai répondu que la droite HM est parallèle à GEJ
C'est juste?
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as montré que ton vecteur $\overrightarrow{HM}$ était une combinaison linéaire des deux vecteurs de la base $(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{GJ})$ du plan $(GEJ)$, alors cela signifie bien que ta droite $(HM)$ est parallèle au plan $(GEJ)$.
Bonne continuation