Suites

[Anne]

Bonjour !
Je n'arrive pas à débuter les questions. Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Voici mon exercice :

On considère la suite u définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n, Un+1=(5Un-1)/(Un+3).
a) Prouver que v est une suite arithmétique de raison 1/4.
b) Exprimer, pour tout n, Vn en fonction de n.
c) En déduire la convergence de u et sa limite.

Merci de bien vouloir m'aider.
Bonne journée :-)

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Votre énoncé comporte des erreurs. Il faut le corriger.
Merci

Sosmaths

[Anne]

Excusez-moi javais oublié d'écrire Vn=1/(Un-1) (avec tout n appartient à N).

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Anne,

Désolé, mais tes informations ne sont pas complètes ... il y a un problème d'écriture des indices d'une suite ...

Par exemple : quand tu écris Vn=1/(Un-1) tu veux dire :
\(V_n=\frac{1}{U_n-1}\) ou \(V_n=\frac{1}{U_{n-1}}\) ?
(Pour U l'indice est n ou n-1 ?)
NB : si tu veux écrire U indice n-1 il faut écrire U(n-1) ou bien utilise TeX ..

Merci de bien vouloir reprendre tes formules.

SoSMath.

[Anne]

Bonjour,
excusez moi, ma fonction était v(n)=1/u(n)-1.
On me donnait également la suite u définie par u0=2 et U(n+1)=(5u(n)-1)/(u(n)+3).
J'ai trouvé pour les deux premières questions. J'ai un petit problème pour la dernière question : en déduire la convergence de u et sa limite.
J'ai étudié le signe de U(n+1)-U(n) et j'ai trouvé (-4)/(5+n)(4+n) donc c'est inférieur à 0. La suite est décroissante. J'en ai déduit qu'elle était minorée mais je ne sais pas comment faire pour le démontrer..
Et pour la limite de U(n), j'ai déduit que (5u(n)-1)(u(n)+3) convergait vers (5l-1)/(l+3) donc U(n+1) aussi.
d'où l=(5l-1)/(l+3).
Donc à la fin, je trouve (l²-2l-1)/(l+3)=0
donc pour le numérateur, x=1. Mais pour le dénominateur, faut-il que je mette l+3 différent de 0 ? Et la limite est-elle toujours 1 dans ce cas là ?
Merci de bien vouloir m'aider.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anne,

tu te compliques la "vie" ...
On te demande de déduire des questions précédentes la convergence de u, donc il faut utiliser tes résultats précédents !
Tu as trouvé Vn en fonction de n et tu sais que Vn = 1/(U(n)-1). Donc tu peux déterminer Un en fonction de n, ce qui te permettra de calculer la limite de Un et donc de déterminer sa convergence.

Remarque : Ta méthode est correcte ... sauf qu'il faut démontrer que Un est minorée et avec ta suite (Un) c'est très compliquée.
Ensuite pour trouver la valeur l, il faut bien résoudre l'équation (5l-1)/(l+3) = l ce qui équivaut à 5l-1 = l(l+3) et l différent de -3.
Il faut alors résoudre ton équation du second degré pour trouver l.

Bon courage,
SoSMath.