fonction composée

[lama]

Bonjour, de l'aide pour cet exercice SVP
f : [−1 ; 1] ➝ IR
(f°f)(x) = (3x+1)/(x+3)
f(−1) + f(1) = ?

i- (f°f)(x) signifie f rond f = f[f(x)]

J'ai essayé de travailler avec la composé f°f et sa reciproque mais sans résultat, j'ai aussi introduit le théorème des valeurs intermédiaires mais sans succès .
Merci

[SoS-Math(34)]

Bonjour,

Tu peux utiliser l'expression de la fonction réciproque g de f en exprimant x en fonction de y dans l'équation y = (3x+1)/(x+3)
Tu vas trouver g(y) = (3y - 1)/(3 - y) pour x différent de 3.
Calcule ensuite fof(1) = m et il te restera à calculer g(m) pour retrouver la valeur de f(1).
En effet, g(m) = g(fof(1))= gof(f(1)) = f(1).
Procède de la même façon pour obtenir f(-1).
Il te restera à additionner f(1) et f(-1).

Bonne recherche
Sosmaths

[lama]

Bonjour
Je ne vous suis pas bien ou quelque chose m'échappe peut être
Pour précision on n'a pas l'expression de f mais on a celle de fof(x) = (3x+1)/(x+3)
donc si g est la réciproque de f alors l'expression de g n'est pas connue et si g(y) = (3x - 1)/(3 - x) alors là g doit être la réciproque de fof et non pas de f. Voila n'est ce pas ?
Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lama,

tu peux aussi calculer fof(1) = 4/4 = 1
donc fofof(1) = f(1) soit fof(f(1) = f(1) soit \(\frac{3f(1)+1}{f(1)+3}=f(1)\)... tu as donc une équation à résoudre d'inconnue f(1).

Pour f(-1), il faut faire la même chose.

SoSMath.

[lama]

Bonjour
Très très jolie cette démonstration merci, mais j'ai encore un petit souci
En résolvant les deux équations j'ai trouvé : f(1) ∈ {−1 ; 1} et f(−1) ∈ {−1 ; 1}
donc si f(1) = −1 ; on a fof(1) = 1 ⇒ f(−1) = 1 mais je ne peux pas prouver de la même façon que si f(1) = 1 ⇒ f(−1) = −1 (ou inversement) auriez vous une idée pour ça SVP ? ,bien qu'au pire des cas je pense pouvoir prouver cette implication avec le fait que f est forcément strictement monotone
MERCI

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lama,

Ce que tu as fait est bien. Et il faut utiliser la monotonie de f pour résoudre le problème (je ne vois pas d'autres idées).
Pour prouver la monotonie de f, il faut utiliser la monotonie des fonctions composée et celle de \(x \mapsto \frac{3x+1}{x+3}\).

Bon courage,
SoSMath.

[lama]

Bonjour
Ok d'accord je vous remercie infiniment pour toutes vos réponses.
Encore une fois merci et @+